材料力学(I)第五章VIP专享VIP免费

材料力学()Ⅰ电子教案梁弯曲时的位移1第5章梁弯曲时的位移§5-1梁的位移——挠度和转角§5-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分§5-3按叠加原理计算梁的挠度和转角§5-6梁内的弯曲应变能§5-5梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施*§5-4梁挠曲线的初参数方程材料力学()Ⅰ电子教案梁弯曲时的位移2§5-1梁的位移——挠度和转角直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原来位置的角位移称为横截面的转角(angleofrotation)。材料力学()Ⅰ电子教案梁弯曲时的位移3弯曲后梁的轴线——挠曲线(deflectioncurve)为一平坦而光滑的曲线，它可以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线方程。由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面的转角也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角，从而有转角方程：xfwtan材料力学()Ⅰ电子教案梁弯曲时的位移4直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和转角则明显不同。材料力学()Ⅰ电子教案梁弯曲时的位移5在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；顺时针转向的转角为正，逆时针转向的转角为负。材料力学()Ⅰ电子教案梁弯曲时的位移6§5-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分I.挠曲线近似微分方程的导出在§4-4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲率为这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。EIM1材料力学()Ⅰ电子教案梁弯曲时的位移7在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还有剪力FS=FS(x)，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产生影响。但工程上常用的梁其跨长l往往大于横截面高度h的10倍，此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计，而有注意：对于有些l/h>10的梁，例如工字形截面等直梁，如同在核电站中会遇到的那样，梁的翼缘由不锈钢制作，而主要承受剪力的腹板则由价廉但切变模量较小的复合材料制作，此时剪切变形对梁的变形的影响是不可忽略的。EIxMxx1材料力学()Ⅰ电子教案梁弯曲时的位移8从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作2/3211wwx式中，等号右边有正负号是因为曲率1/为度量平面曲线(挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w"是=w'沿x方向的变化率，是有正负的。材料力学()Ⅰ电子教案梁弯曲时的位移9再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w"，正弯矩对应于负值的w"，故从上列两式应有由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略去，于是得挠曲线近似微分方程EIxMww2/321EIxMw材料力学()Ⅰ电子教案梁弯曲时的位移10II.挠曲线近似微分方程的积分及边界条件求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为后进行积分，再利用边界条件(boundarycondition)确定积分常数。xMwEIEIxMw材料力学()Ⅰ电子教案梁弯曲时的位移11当全梁各横截面上的弯矩可用一个弯矩方程表示时(例如图中所示情况)有1dCxxMwEI21ddCxCxxxMEIw以上两式中的积分常数C1，C2由边界条件确定后即可得出梁的转角方程和挠曲线方程。材料力学()Ⅰ电子教案梁弯曲时的位移12边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如下图所示。材料力学()Ⅰ电子教案梁弯曲时的位移13若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件(constraintcondition)外，还需利用相邻两段梁在交界处的连续条件(continuitycondition)。这两类条件统称为边界条件。材料力学()Ⅰ电子教案梁弯曲时的位移14试求图示悬臂梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角max。梁的EI为常量。例题5-1材...