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第五节扭矩方程扭矩图一、扭矩方程扭矩图二、扭矩与荷载集度间的关系三、扭矩图的快速画法一、扭矩方程扭矩图mM1M2ABCD3m3m4m(a)例1-12、写出图示杆件各段的扭矩方程，并画其扭矩图。已知M1=8kN.m,M2=4kN.m,均布力偶矩m=3kN.m/m。x1x2x3AB段：取X1截面以左外力偶计算，Mn=–M1=–8kN.m[010]Mn填补幅度细线，所得扭矩图如图(b)所示。*这种根据内力方程计算出若干控制截面上的内力，然后再描点连线的画图方法，称之为“函数描点法”。xABCD–8kN•m4kN•m4kN•m(b)Mn二、扭矩与力偶矩集度间的微分关系xdxM1M2ABCDm=m(x)(a)m(x)dxMnMn+dMnx(b)*从上例可以发现,扭矩沿各截面位置的变化规率与杆段上有无分布力偶矩，以及分布力偶矩集度m的大小和旋转方向有关。下面以图a所示杆件为例来分析扭矩Mn与m间的微分关系。为更具一般性，设m=m(x),并规定力偶矩矢与x轴同方向时为正向力偶，反方向时为负向力偶。在x截面处截取dx微段，其分离体受力图如图b所示。由MX=0得(Mn+dMn)–Mn+m(x)•dx=0dMn=–m(x)•dx(a)或dMn/dx=–m(x)(b)dMn=–m(x)•dx(a)dMn/dx=–m(x)(b)*微分关系式(a)表明,正方向方向的分布力偶矩(m>0)使扭矩沿轴向减少,而负方向的分布力偶矩(m<0)使扭矩沿轴向增加。或者说扭矩顺着分布力偶矩矢的方向减少,逆着分布力偶矩矢的方向增加。*微分关系式(b)表明，扭矩沿截面变化的速律等于与截面对应的分布力偶矩集度的大小。m=常数时，即在均布轴向力偶作用的杆段，扭矩将沿轴线呈线性变化;m=0时，即对于无分布力偶作用的杆段，扭矩变化的速率等于零，扭矩保持常数，扭矩图为一条水平线。(a)M1M2M34kN•m4kN•m8kN•mABC-4kN•m4kN•mMnABCx(b)M1M2ACxM3=m•x(a)xMn4kN•m-4kN•mxACB(b)顺着集中力偶矩矢的方向“突降”，逆着集中力偶矩矢的方向“突升”*利用以上微分关系所反映的规率，可以总结出如下几条画扭矩图的规率和技巧。*对于集中力偶矩M作用的截面处，可以理解成在很短的一小段杆子x上，作用着一集度m的绝对值很大的分布力偶矩，其m•x=M,由于集度的绝对值很大，所以扭矩的变化速率也很大，其极限情况就是扭矩在集中力偶作用的截面处发生“突变”。无分布力偶杆段m=0Mn=常数荷载特征扭矩图特征口诀无力偶段矩不变扭矩图形水平线m=常数Mn=ax+bxxm>0m<0均布力偶对斜线集度正负顶增减x减少增加顺着偶矢往下掉逆着偶矢向上跳x集中力偶有突变左顺右逆画竖线m>0m<0三、扭矩图的快速画法例1-12、画图示悬臂杆件的扭矩图。已知M1=6kN•m,M2=8kN•m,均布力偶矩集度m=1.5kN•m/m。2m4mABCM1M2m(a)2m4mABCM1M2m(b)MC解：先求右端支座反力：MC=4kN•m分离体受力图如图b所示。选择从左向右的画图行进方向。ABCMn口诀：集中力偶要突变顺着矩矢向下掉图形：从零突降到–6kN•mA端：受力：M1=6kN•m–6kN•mABCMnAB段：受力：无分布力偶作用m=0口诀：无力偶段水平线图形：Mn=–6kN•m的水平线–6kN•m口诀：集中力偶要突变逆着矩矢向上跳图形：突升Mn=8kN•m2kN•m口诀：均布力偶对斜线集度正负顶增减图形：斜直线Mn=–1.5×4=–6kN•m–4kN•m2m4mABCM1M2m(b)MC图形：突升N=4kN•m，图形回零。(c)C端：受力：MC=4kN•mBC段：受力：m=1.5kN•m/m.B截面：受力：M2=8kN•m口诀：集中力偶要突变，逆着偶矢向上跳。ABCMn–6kN•m2kN•m–4kN•m(c)*根据终端扭矩图回零的原理，对于如本例这样的悬臂轴，就可以不必先求固定端的反力偶，可以先从自由端做起点向固定端画扭矩图，画到终端时，根据需要回零的突变量，就可判断出固定端的支座反力偶的大小和方向。*图形回零表示力系平衡。对一个受平衡力系作用的杆件，内力图从这一端画到另一端，最后必然回到...

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