奥数 六年级竞赛 几何直线形面积 燕尾定理.教师版wordVIP专享VIP免费

1.理解燕尾定理，灵活运用定理解题．2.用份数思想求面积之间的关系．本讲是在秋季所学四大模型的基础上，讲解运用燕尾定理求解面积问题．至此五大模型已讲解完毕．体会五大模型解决问题的优势．燕尾定理：S△ABGS△AGCS△BGES△EGCBEEC；S△BGAS△BGCS△AGFS△FGCAFFC；S△AGCS△BCGS△ADGS△DGBADDB；问：为什么称之为燕尾定理？答：我们看看燕子的尾巴然后再看看右图的阴影部分，看看阴影部分是不是很像燕子的尾巴，A是尾巴与身体的连接点，AG是燕子尾巴的中分线，左右两个阴影三角形构成燕子尾巴的两侧翼.同学们也可以自己动手，试试以三角形的另外两个顶点作为尾巴与身体的连接点能不能画出燕子的尾巴.燕尾定理因为图形类似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：｜五年级第四讲提高班｜1第4讲直线型面积—燕尾定理GFEDCBAGFEDCBA举例：如右图，D是BC上任意一点，请你说明S1S4S2S3BDDC【分析】三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，所以有S1S4BDDC；三角形ABE与三角形EBD同高，S1S2EDEA三角形ACE与三角形CED同高，S4S3，所以S1S4S2S3；综上可得S1S4S2S3BDDC.【例1】如图，已知，，三角形的面积是30，求阴影部分面积.【分析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积.又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，(法一)连接，因为，，三角形的面积是30，所以，．根据燕尾定理，，,所以，，所以阴影部分面积是．(法二)连接，由题目条件可得到，，所以，，而．所以阴影部分的面积为．［铺垫］右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是．2｜五年级第四讲提高班｜用燕尾定理求面积S3S1S4S2EDCBA【分析】方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：，解得.方法二：回顾下燕尾定理，有，解得.【例2】如右图，三角形ABC中，BDDC49，CEEA43，求AFFB.【分析】燕子尾巴非常明显.根据燕尾定理，，，所以，所以.【例3】如图在中，,求的值．IHGFEDCBAIHGFEDCBA【分析】连接BG,设1份，根据燕尾定理,,得(份)，(份),则(份)，因此,同理连接AI、CH得,,所以［拓展］如右图，三角形ABC中，AFFBBDDCCEAE32，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC的面积．｜五年级第四讲提高班｜3OFEDCBAIHGFEDCBAIHGFEDCBA［分析］连接BG，4份根据燕尾定理，，得(份)，(份)，则(份)，因此,同理连接AI、CH得,,所以三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19【例4】如图，三角形ABC被分成6个三角形，己知其中4个三角形的面积，问三角形ABC的面积是多少?【分析】设，，根据燕尾定理,得,即，，即，解得，所以三角形ABC的面积是【例5】三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为BC中点，求阴影部分的面积．FEDCBANMFEDCBA【分析】令BE与CD的交点为M，CD与EF的交点为N，连接AM，BN．4｜五年级第四讲提高班｜35304084OFEDCBA在中，根据燕尾定理，,,所以由于S，所以在中，根据燕尾定理，设(份)，则(份)，(份)，(份)，所以,，因为,F为BC中点,所以,,所以(平方厘米)【例6】如右图，中，是的中点，、、是边上的四等分点，与交于，与交于，已知的面积比四边形的面积大平方厘米，则的面积是多少平方厘米？NMGABCDEFNMGABCDEF【分析】连接、．根据燕尾定理，，，所以；再根据燕尾定理，，所以，所以，那么，所以．根据题意，有，可得(平方厘米)［拓展］如右图，三角形ABC的面积是1，BDDEEC，CFFGGA，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?｜五年级第四讲提高班｜5GFEDCBANMQPGFEDCBA［分析］设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连接CP，CQ，CM，CN．根据燕尾定理，，，设(份)，则(份)，所以同理可得，,,而，所以，...