第7讲一元二次方程考点一一元二次方程的定义1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程，一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数，且a≠0)．2．一元二次方程的解：使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．考点二一元二次方程的解法1．直接开平方法：如果x2＝a(a≥0)，则x＝±a，即x1＝a，x2＝－a.2．配方法：如果x2＋px＋q＝0且p2－4q≥0，则x＋p22＝－q＋p22.x1＝－p2＋－q＋p22，x2＝－p2－－q＋p22.3．公式法：如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)且b2－4ac≥0，则x1,2＝－b±b2－4ac2a.4．因式分解法：若方程ax2＋bx＋c＝(ex＋f)(mx＋n)(a≠0)，则ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝－fe，x2＝－nm.温馨提示：解一元二次方程时，要根据方程的特点灵活选择合适的方法，一般顺序为直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法.公式法和配方法可以解所有判别式大于或等于0的一元二次方程.考点三一元二次方程根的判别式关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac，一般用符号Δ表示．(1)b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根，即x1,2＝－b±b2－4ac2a；(2)b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根，即x1＝x2＝－b2a；(3)b2－4ac＜0⇔方程没有实数根．温馨提示：一元一次方程没有根的判别式，因此，在逆用判别式时，一定要保证二次项系数不等于零.考点四*一元二次方程根与系数的关系(注：*为选学内容，后面类同)1．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根，分别为x1，x2，则x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.2．(简易形式)若关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个实数根，分别为x1，x2，则x1＋x2＝－p，x1x2＝q.温馨提示：1.首先把一元二次方程化成一般形式，再利用根与系数的关系.2.在应用根与系数的关系时，一定要保证一元二次方程有实数根.考点五一元二次方程的应用1．列一元二次方程解应用题的步骤和列一次方程(组)解应用题的步骤相同，即审、设、找、列、解、检、答七步．2．列一元二次方程解应用题常见的问题(1)增长率问题对于正的增长率问题，设a为原来的量，x为平均增长率，m为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋x)m＝b；对于负的增长率问题，则a(1－x)m＝b.(2)比赛场次问题n个队进行单循环比赛，一共比赛nn－12场．(3)面积问题求不规则图形的面积问题，通常做法是把不规则图形转化成规则图形，找出变化前后面积之间的关系，然后列方程求解．考点一一元二次方程的解例1(2015·衡阳)若关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－1，则另一个根为()A．－2B．2C．4D．－3【点拨】方法1：把x＝－1代入方程x2＋3x＋a＝0，可得a＝2.∴方程为x2＋3x＋2＝0，解得x1＝－2，x2＝－1，∴另一个根是－2.方法2：可设另一个根为x1，根据根与系数的关系，得－1＋x1＝－3，x1＝－2.故选A.【答案】A考点二一元二次方程的解法例2(2015·烟台)如果x2－x－1＝(x＋1)0，那么x的值为()A．2或－1B．0或1C．2D．－1【点拨】由x2－x－1＝(x＋1)0，可得x2－x－2＝0，解得x＝2或x＝－1(舍去)．故选C.【答案】C方法总结：在一元二次方程的四种解法中，优先选择顺序依次为直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法.考点三一元二次方程根的判别式例3(2015·梅州)已知关于x的方程x2＋2x＋a－2＝0.(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；(2)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与根的对应关系是解题的关键．解：(1) b2－4ac＝22－4×1×(a－2)＝12－4a＞0，解得a＜3.∴a的取值范围是a＜3.(2)把x＝1代入方程，可得3＋a－2＝0，a＝－1.把a＝－1代入原方程，可得x2＋2x－3＝0.解得x1＝－3，x2＝1.则a的值是－1，该方程的另一个根为－3.方法总结：若一元二次方程有实数根，那么应该包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，切勿丢掉等号.考点四*一元二次方程根与系数的关系例4(2015·泸州)设x1，x2是一元二次方程x2－5x－1＝0的两个实数根，则x12＋x22的值为________．【...
