导数及其运算精析一、知识网络二、知识点精析1．平均变化率一般地，函数在区间上的平均变化率为．2．平均速度在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度．3．瞬时速度一般地，我们计算运动物体位移的平均变化率，如果当无限趋近于0时，无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在时的瞬时速度．说明：（1）趋近于０是指间隔越来越短，能越过任意小的时间间隔，但始终不为零．（2）这里研究的是两个变量比值变化的性质与状态，尽管在变化中趋近于０，但它们的比值却趋近一个确定的常数．（3）求运动物体的瞬时速度的步骤：设物体做非匀速直线运动的规律为①求时间改变量，位置改变量；②求平均速度；③求瞬时速度：当无限趋近于０时，趋近的值．4．瞬时加速度一般地，我们计算运动物体速度的平均变化率，如果当无限趋近于０时，无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在时的瞬时加速度．5．导数设函数在区间上有定义，．若无限趋近于０时，比值无限趋近于一个常数（也就是说平均变化率与某个常数的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），则称函数在处可导，并称该常数A为函数在点处的导数，记作．导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率．说明：（1）函数在处可导，是指当无限趋近于0时，无限趋近于某一个常数．如果不趋近于某一个常数，就说函数在点处不可导，或说无导数．（备注：“无限趋近于”可用符号“→”表示，即“当无限趋近于０时，无限趋近于一个常数A”与“”是等价的，所以教材中的定义形式可等同于上面的形式）（2）是自变量x在处的改变量，可正、可负，但．（3）由导数的定义知，求函数在点处的导数的步骤：①求函数值的增量；②求平均变化率；③取趋近值，得导数为当趋近于０时，趋近的数值．可简记为：一差、二比、三趋近．（4）由导数的几何意义可得求曲线切线斜率的步骤：①求函数值的增量；②求割线的斜率；③取趋近值，得导数；④若趋近值存在，则切线的斜率．6．导函数若对于区间内任一点都可导，则在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为函数的导函数，记作，也简称为的导数．说明：函数在一点处的导数是一个具体的数，而导函数是一个函数．7．求导公式（1）（为常数），（2）（Ｃ为常数），（3）（为常数），（4）（，且），（5）（，且），（6），（7），（8），（9）．说明：要注意以下几组记忆时很容易混淆的公式的区别与联系：与，与，（，且）与．对于以上这几组函数的导数的记忆，应从公式的结构特征等几个方面找出差异，以便加深对它们的理解和记忆．8．导数的四则运算求导法则（1）函数和（差）的求导法则设是可导的，则①．说明：该法则可推广到任意有限个可导函数的和（或差）的求导，即．②．③．说明：要注意公式的结构形式：．④．说明：注意公式的形式，特别是等式右边的结构顺序．（2）简单复合函数的求导法则一般地，我们有：若，，则，即．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．三、学习中应注意的几点1．“函数在点处的导数”、“导函数”、“导数”三者之间的区别与联系：导函数（导数）是一个特殊的函数，首先定义在点处可导，且在处有唯一的导数，然后再定义函数在开区间内每一个值都可导，所以说函数的导函数是对某一个区间内任意一点而言的．函数的导函数与在点处的导数不是同一个概念，函数在点处的导数是导函数在点处的导函数值，一般是先求出函数的导函数，再计算在这点处的导函数值．导函数也简称为导数．2．要熟记基本初等函数导数公式表，为今后的应用打下坚实的基础，特别对幂函数求导时，要注意将根式、分式转化为指数式，能更方便地应用公式．高考资源网小心别忽视导数的引进无疑为中学数学注入了新的活力，但同时由于概念不清而致误的情形也时常发生．本文对几类常见错误进行剖析，以期引起大家的注意．1．忽视导数定义中与的对应关系例1已知函数，求．错解一：，∴．错解二：，∴．正解：，∴．评注：在导数定义中增量形式是多种多样的，但不论选择哪一种形式，相应地也必须选择对应的形式，即深刻理解定义，牢固掌握概念形式：．2．忽视导数的...
