三、练习练习题参考答案1.添项，配成完全平方式(仿例3)2.拆中项，仿例13.拆项，配成两数和的立方①原式=(x+y)3+y3③原式=(x-3a)3+a3⑤原式=(a+1)3+(b+1)4.用因式定理，待定系数法，仿例5，6④x=1时，原式=0，有因式2x—125.看着是某代数式的二次三项式，仿例7④原式二(2x-7)(X+3)(2X-5)(X-3)-91=(2X2-X-8)(2X2-X-28)=6.分组配方③原式=(X2+1)2-(x+a)2……④把原式用乘法展开，合并，再分解⑤以a=—b代入原式=0，故有因式a+b7.可分解为两个非1的正整数的积8.提示g(x),p(x)的和，差，倍仍有f(x)的因式，3g(x)-p(x)=14(X2-2x-5)与f(x)比较系数，f(1)=41．2.3.4.5.67.8分解因式分解因式分解因式①X4+x2y2+y4①X3+4x2—9③X3+5X2—18②X4+4③X4—23X2y2+y4②X3—41X+30④X3—39X—70①X3+3x2y+3xy2+2y3②X3—3X2+3X+7@X3—9ax2+27a2x—26a3⑤33+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+2④X3+6X2+11X+6分解因式：①3x3—7X+10②X3—11X2+31X—21③X4—4X+3④2X3—5X2+1分解因式：①2x2—xy—3y2—6x+14y—8②(X2—3X—3)(X2+3X+4)—8③(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)—482x—7)(2x+5)(x2—9)—91分解因式：①X2y2+1—x2—y2+4xy②X2—y2+2x—4y—3③X4+x2—2ax—a+1④(x+y)4+x4+y4⑤(a+b+c)3—(a3+b3+c3)己知：n是大于1的自然数求证：4n2+1是合数己知：f(x)=x2+bx+c,g(x)=x4+6X2+25,p(x)=3x4+4x2+28x+5且知f(x)是g(x)的因式，也是p(x)的因式求:当x=1时，f(x)的值a一2—一5—2a—m解得J。—一3[m—6本题解法叫待定系数一、内容提要1．定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。2.根据被除式=除式X商式+余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x的整式，那么式的整除的意义可以表示为：若f(x)=p(x)Xq(x),则称f(x)能被p(x)和q(x)整除例如TX2—3X—4=(X—4)(x+1),・・.X2—3X—4能被(x—4)和(x+1)整除。显然当x=4或X=—1时X2—3X—4=0,3.一般地，若整式f(x)含有x-a的因式，则f(a)=0反过来也成立，若f(a)=O,则x—a能整除f(x)。4.在二次三项式中若x2+px+q=(x+a)(x+b)=X2+(a+b)x+ab则p=a+b,q=ab在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。二、例题例1x2—5x+m能被x—2整除，求m的值。x—3解法一：列竖式做除法(如右)厂x—2x2—5x+m由余式m—6=0得m=6x—2x解法二：*.*x2—5x+m含有x—2的因式—3x+m以x=2代入x2—5x+m得—3x+622—5X2+m=0得m=6m—6解法三：设x2—5x+m除以x—2的商是x+a(a为待定系数)那么X2—5x+m=(x+a)(x—2)=x2+(a-2)x—2a根据左右两边同类项的系数相等，得例2己知：x4—5x3+llx2+mx+n能被x2—2x+1整除求：m、n的值及商式解：被除式=除式X商式(整除时余式为0)・・商式可设为x2+ax+b得x4—5x3+llx2+mx+n=(x2—2x+l)(x2+ax+b)=x4+(a-2)x3+(b+l-2a)x2+(a-2b)x+b根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得a——b—nm——a-2——5b+1—2a—11a—2b—m1b—n・°・m=—ll,n=4,商式是X2—3X+4例3m取什么值时，X3+y3+z3+mxyz(xyz#0)能被x+y+z整除？解：当X3+y3+z3+mxyz能被x+y+z整除时，它含有x+y+z因式令x+y+z=0，得x=—(y+z)，代入原式其值必为0艮卩[—(y+z)]3+y3+z3—myz(y+z)=01.-4,22.2；4x+5fa——53.3fm—-19ln-5商式x-把左边因式分解，得一yz(y+z)(m+3)=0,TyzHO,・••当y+z=0或m+3=0时等式成立・••当x,y(或y,z或x,z)互为相反数时，m可取任何值，当m=—3时，x,y,z不论取什么值，原式都能被x+y+z整除。例4分解因式X3—x+6分析：为获得一次因式，可用x=±l,±2,±3,±6(常数项6的约数)代入原式求值，只有x=—2时值为0,可知有因式x+2,(以下可仿例1)解：X3—X+6=(X+2)(X2—2X+3)三、练习1.若X3+2x2+mx+10=X3+nx2-4x+10,则m二,n=2.X3-4x2+3x+32除以x+2的余式是,X4-X2+1除以X2-X-2的余式是3.己知X3+mx+4能被x+1整除，求m4.己知X4+ax3+bx-16含有两个因式X—1和x-2,求a和b的值5.己知13x3+mx2+11x+n能被13X2—6X+5整除，求m、n及商式6.己知abH0,m取什么值时，a3—6a2b+mab2-8b3有因式a-2b.7.分解因式：①X3-7x+6,②X3-3X2+4,③X3-10x-38•选择题①X2y-y2z+z2X-X2z+y2x+z2y-2xyz因式分解的结果是()(A)(x+y)(y-z)(x-z)(B)(x+y)(y+z)(x-z)(c)(...
