Ch4Ch4Ch4Ch4复习概要一、换元法第一类换元法（凑微分法）()()()()()fxxdxfuduFuCFxCϕϕϕ′==+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∫∫1111、先找复合函数，再确定中间变量；2222、利用三角公式等恒等变形，再换元；3333、熟悉常用的求导结果，先确定中间变量的导数，再找复合函数。第二类换元法常见的四类利用三角函数代入简单无理函数：直接代换))22222221,sin,cos2,tan,sec3,sec,sectanaxxatdxatdtaxxatdxatdtxaxatdxattdt−==+==−==()xtϕ=()txψ=()()()()fxdxfttdtFxCϕϕψ′==+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∫∫倒代换：利用倒数代换万能公式代换：利用万能公式代换二、分部积分法udvuvvdu=−∫∫常见的几种形式：sin,cosnnxxdxxxdx∫∫1111、幂函数与三角函数：基本原则：反对幂指三nxxedx∫2222、幂函数与指数函数：lnnxxdx∫3333、幂函数与对数函数：arctan,arcsinnnxxdxxxdx∫∫4444、幂函数与反三角函数：5555、指数函数三角函数：sinxexdx∫例11111111）112dxx−∫3333）123dxx−∫2222）2cossinxdxx∫4444）22223xdxxx−−+∫例11116666）2arcsin1xdxx−∫5555）xedxx∫7777）11xdxe+∫arctanarctanarctanarctan8)8)8)8)(1)(1)(1)(1)xxxxdxdxdxdxxxxxxxxx++++∫∫∫∫例22221111）21xdxx−∫2222）211dxxx+∫3333）211dxxx−∫4444）1dxxx+∫5555）31dxxx−∫6666）11dxxx+∫例33331111）sin2xxedx∫3333）2tanxxdx∫2222）sin2xxdx∫例33334444）3arctanxdxx∫5555）()2arcsinxdx∫6666）的一个原函数为，求()fxcosxx()xfxdx′∫7777）3secxdx∫Ch5Ch5Ch5Ch5复习概要一、定积分的计算2222、换元法、分部积分法1111、积分上限函数()()xaxftdtΦ∫≜()()()xfxaxb′Φ=≤≤注意：1)1)1)1)偶倍奇零的使用；2)2)2)2)第二类换元时，换上下限代替反函数代回；3)3)3)3)在开根式和有绝对值时，注意被积函数的符号。3333、广义积分的计算无穷限的广义积分：()()()afxdxFFa+∞=+∞−∫()()()bfxdxFbF−∞=−−∞∫()()()fxdxFF+∞−∞=+∞−−∞∫3333、广义积分的计算无界函数的广义积分：xxfbad)(∫)()(aFbF−=−xxfbad)(∫)()(+−=aFbFxxfbad)(∫)()(+−−=aFbF若bbbb为瑕点,则若aaaa为瑕点,则若a,a,a,a,bbbb都为瑕点,则若瑕点,),(bac∈则=∫xxfbad)()()(+−cFbF)()(aFcF−+−1111、平面面积的计算二、定积分的几何应用直角坐标下：两条曲线与()(),,yfxygxxaxb====则：()()baAfxgxdx=−∫1111、平面面积的计算二、定积分的几何应用计算由及围成围成(),rrxθαθβ===极坐标情形()212Ardβαθθ=⎡⎤⎣⎦∫2222、旋转体的体积二、定积分的几何应用)()1,yfxxaxbx===直线及轴所围曲边绕轴x旋转一周的体积()2baVfxdxπ=⎡⎤⎣⎦∫)()2,xyycydyϕ===直线及轴所围曲边绕轴y旋转一周的体积()2dcVydyπϕ=⎡⎤⎣⎦∫二、定积分的几何应用3333、曲线弧长的计算直角坐标下计算长度()[],yfxxab=∈S（在上有连续的一阶导数）()(),fxab()2211bbaaSydxfxdx′′=+=+⎡⎤⎣⎦∫∫二、定积分的几何应用3333、曲线弧长的计算参数方程()()xttytϕαβψ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩()()22Sttdtβαϕψ′′=+∫二、定积分的几何应用3333、曲线弧长的计算极坐标方程()()rrθαθβ=≤≤()()22Srrdβαθθθ′=+∫三、定积分的物理应用1111、变力沿直线做功2222、水压力3333、引力例11111111）()cos2sincos()xxtdtπ′∫2222）3241xxdtt′⎛⎞⎜⎟+⎝⎠∫例22221111）10132dxx+∫2222）41xedxx∫3333）0sin2xxdxπ∫4444）10xxedx−∫例3.,0)(,],[)(,)(≠xgbaxgxf且上连续在设试证,),(ba∈ξ使∫baxxfd)(∫baxxgd)()()(ξξgf=分析:即证0d)()(d)()(=−∫∫babaxxgfxxfgξξ∫xaxxgd)(⎢⎣⎡′⎥⎦⎤ξ=x故作辅助函数∫∫∫∫−=baxabaxaxxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()(至少存在一点∫xaxxfd)(⎢⎣⎡′⎥⎦⎤ξ=x即∫xaxxgd)(∫baxxfd)(∫−xaxxfd)(∫baxxgd)(⎢⎣⎡′⎥⎦⎤ξ=x0=)(xf+例4.设,],[)(baCxf∈证:设且试证:,0)(>xf2)()(dd)(abxfxxxfbaba−≥∫∫ttfxFxad)()(∫=∫xatft)(d则=′)(xF)(1xf+)(2ax−−∫⎢⎣⎡=xa)(tf)(tftd2⎥⎦⎤−ttfxftfxfxad)()()]()([2∫−=0)(,>>xfax0≥故F(x)单调不减,,0)()(=≥∴aFbF即①成立.①)(xf...
