阶段回扣练9空间向量与立体几何(建议用时：70分钟)1．(2015·苏、锡、常、镇四市调研)如图，在空间直角坐标系A－xyz中，已知斜四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为3的正方形，点B，D，B1分别在x，y，z轴上，B1A＝3，P是侧棱B1B上的一点，BP＝2PB1.(1)写出点C1，P，D1的坐标；(2)设直线C1E⊥平面D1PC，E在平面ABCD内，求点E的坐标．解(1)C1(0,3,3)，P(1,0,2)，D1(－3,3,3)．(2) C(3,3,0)，∴CP＝(－2，－3,2)，CD1＝(－6,0,3)．设E(m，n,0)，则C1E＝(m，n－3，－3)． C1E⊥平面D1PC，∴则∴m＝－，n＝2，则点E的坐标为.2．(2013·湖南卷)如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．(1)证明易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB＝t，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．从而B1D＝(－t,3，－3)，AC＝(t,1,0)，BD＝(－t,3,0)．因为AC⊥BD，所以AC·BD＝－t2＋3＋0＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．于是B1D＝(－，3，－3)，AC＝(，1,0)，因为AC·B1D＝－3＋3＋0＝0，所以AC⊥B1D，即AC⊥B1D.(2)解由(1)知，AD1＝(0,3,3)，AC＝(，1,0)，B1C1＝(0,1,0)．设n＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则即令x＝1，则n＝(1，－，)．设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，B1C1〉|＝＝＝.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.3.(2015·南京模拟)如图，在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝，点M，N分别在线段PA和BD上，BN＝BD.(1)若PM＝PA，求证：MN⊥AD；(2)若二面角M－BD－A的大小为，求线段MN的长度．解连接AC，BD交于点O，连接OP.以射线OA为x轴，以射线OB为y轴，射线OP为z轴建立空间直角坐标系．因为PA＝AB＝，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，D(0，－1,0)，P(0,0,1)．(1)证明由BN＝BD得N，由PM＝PA得M，所以MN＝，AD＝(－1，－1,0)．因为MN·AD＝0.所以MN⊥AD.(2)因为M在PA上，可设PM＝λPA，得M(λ，0,1－λ)．所以BM＝(λ，－1,1－λ)，BD＝(0，－2,0)．设平面MBD的法向量n＝(x，y，z)，由得其中一组解为x＝λ－1，y＝0，z＝λ，所以可取n＝(λ－1,0，λ)．因为平面ABD的一个法向量为OP＝(0,0,1)，所以cos＝，即＝，解得λ＝，从而M，N，所以MN＝＝.4．(2015·徐州质量检测)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知CA＝CB＝1，AA1＝2，∠BCA＝90°.(1)求异面直线BA1与CB1夹角的余弦值；(2)求二面角B－AB1－C平面角的余弦值．解如图，以{CA，CB，CC1}为正交基底，建立空间直角坐标系C－xyz，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，A1(1,0,2)，B1(0,1,2)，所以CB1＝(0,1,2)，AB＝(－1,1,0)，AB1＝(－1,1,2)，BA1＝(1，－1,2)．(1)因为cos〈CB1，BA1〉＝＝＝，所以异面直线BA1与CB1夹角的余弦值为.(2)设平面CAB1的法向量为m＝(x，y，z)，则即取平面CAB1的一个法向量为m＝(0,2，－1)；设平面BAB1的法向量为n＝(r，s，t)，则即取平面BAB1的一个法向量为n＝(1,1,0)，则cos〈m，n〉＝＝＝，所以二面角B－AB1－C平面角的余弦值为.5．(2015·南通、扬州、泰州、宿迁四市调研)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝AB，点E是棱AB上一点．且＝λ.(1)证明：D1E⊥A1D；(2)若二面角D1－EC－D的大小为，求λ的值．(1)证明以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系．不妨设AD＝AA1＝1，AB＝2，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,1)，B1(1,2,1)，C1(0,2,1)，D1(0,0,1)．因为＝λ，所以E，于是D1E＝，A1D＝(－1,0，－1)．所以D1E·A1D＝·(－1,0，－1)＝0.故D1E⊥A1D.(2)解因为D1D⊥平面ABCD，所以平面DEC的一个法向量为n1＝(0,0,1)．又CE＝，CD1＝(0，－2,1)．设平面D1CE的法向量为n2＝(x，y，z)，则n2·CE＝x＋y＝0，n2·CD1＝－2y＋z＝0，所以向量n2的一个解为.因为二面角D1－EC－D的大小为，则＝.解得λ＝±－1.又因E是棱AB上的一点，所以λ＞0，故所求的λ值为－1.6．(2015·宿迁模拟)如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M是...
