二、图的矩阵表示、欧拉图mEnV,mnijm21miijm)deg(1imjijvm01mjijmmmnimjij2111.(无向图)关联矩阵M(G)=其中mij=vi与ej的关联次数(行为结点,列为边).(列元素之和为2);,若,表明vi是孤立点;,即所有元素之和等于边数的2倍;设G=,具有性质:①②③④平行边的列的元素完全对应相同.mEnV,nija)deg()(11iniijmjijvaa01mjija若2.(无向图)相邻矩阵A(G)=其中aij=vi与vj相关联的边的条数(行、列均为结点).;,表明vi是孤立点;设G=,具有性质:①A(G)是对称矩阵;②mEnV,mnijm为始点,为终点不关联与为终点为始点jijijiijvvvvvvm10,101niijm)deg(1imjijvmmmmnimjijnimjij1111)1()1(3.(有向图)关联矩阵M(D)=其中(结点为行,边为列).(列元素之和为0);③设D=,具有性质:①②mEnV,nijamanimjij114.(有向图)邻接矩阵A(D)=其中aij=邻接vi与vj的边的条数(与A(G)类似)(以行和列均为结点)设D=,具有性质:mEnV,nijp否则可达01jiijvvp5.(有向图)可达矩阵P(D)=其中设D=,6.欧拉通路(回路)与欧拉图通过图G的每条边一次且仅一次,而且走遍每个结点的通路(回路),就是欧拉通路(回路).存在欧拉回路的图就是欧拉图.注:(1)欧拉回路要求边不能重复,结点可以重复.笔不离开纸,不重复地走完所有的边,且走过所有结点,就是所谓的一笔画.(2)欧拉图或通路的判定1)无向连通图G是欧拉图G不含奇数度结点(G的所有结点度数为偶数):(定理1)2)非平凡连通图G含有欧拉通路G最多有两个奇数度的结点;(定理1的推论)3)连通有向图D含有有向欧拉回路(即欧拉图)D中每个结点的入度=出度4)连通有向图D含有有向欧拉通路D中除两个结点外,其余每个结点的入度=出度,且此两点满足deg-(u)-deg+(v)=1.(定理2)