3.2几种常见函数的导数VIP免费

3.2几种常见函数的导数24年12月25日1.导数的定义：.)()(limlim)(,)()()(.)()(,)(xxfxxfxyxfyxfxxfxxfyxyxxfxxfyyxxxxfyxxxx0000000000000即或，记作处的导数（或变化率）在点叫做处可导，并把这个极限在点有极限，我们就说函数时，如果当相应地有增量，那么函数增量处有在如果自变量定义：设函数复习回顾2.求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤：.lim)()()()()()()()(xyxfxxfxxfxyxfxxfyx000000321取极限，得导数；求平均变化率；求函数的增量.)()(limlim)()(),()(),()(),(),()(),()(xxfxxfxyyxfyxyxfbaxfbaxfxbabaxfbaxfxxx0000）即时记作自变量（需要指明或内的导函数，记作区间在开把这一新函数叫做成一个新的函数，我们内构，这样就在开区间一个确定的导数，都对应着内每一个确定的值对于开区间内可导，这时，在开区间都可导，就说内每一点在开区间定义：如果函数导函数也简称导数.如果不特别指明求某一点处的导数，求导数就是指求导函数.3.导函数的定义:几种常见函数的导数：公式1：.)(0为常数CC证明：y=f(x)=C,y=f(x+x)–f(x)=C–C=0,,0xy.lim)(00xyCxfx新课教学说明：此公式可以叙述为：常函数的导数为零．其几何解释是：函数y=C的图象是平行于x轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0.公式2：.)()(Qnxnxnn1下面我们就nN*的情况加以证明.分析：证明过程要用到二项式定理：nnnnnnnnnnbCbaCbaCaCba222110)(证明：y=f(x)=xn,y=f(x+x)-f(x)=(x+x)n-xnnnnnnnnxCxxCxxC)()(2221112211nnnnnnnxCxxCxCxy)(.lim)()(10nxnxnxyxxf说明：实际上，此公式对n∈R都成立，但证明较复杂，所以课本只给出了nN*的证明公式3：.cos)(sinxx公式4：.sin)(cosxx对于公式3和公式4证明从略.10();()();(sin)cos;(cos)sin.nnCCxnxnQxxxx几种常见函数的导数：为常数21xx例1求(1)(x3)′(2)()′(3)()′例题解析21x(2)()′=(x-2)′=-2x-2-1=-2x-3解：(1)(x3)′=3x3-1=3x2；xxxxx212121)()(2112121(3)5651()()5sttt6255264ts51ts例2质点运动方程是,求质点在t=2时的速度．645答：质点在t=2时的速度是．51ts解：∵xxycos)(sin236cos6xy0361236yxxysin)21,6(例3求曲线在点A的切线方程．xysin解：∵∴∴23k∴所求切线的斜率)6(2321xy∴所求切线的方程为0361236yx即xysin)21,6(答：曲线在点A的切线方程为．奎屯王新敞新疆1．(口答)求下列函数的导数：(1)y=x5(2)y=x6(3)x=sint(4)u=cos答案：(1)y′=(x5)′=5x4；(2)y′=(x6)′=6x5；(3)x′=(sint)′=cost；(4)u′=(cos)′=－sin2.求下列函数的导数：(1)y=(2)y=答案：(1)y′=()′=(x－3)′=－3x－3－1=－3x－4(2)31x3x31x321313133131)()(xxxxy练习3.质点的运动方程是s=t3，(s单位m，t单位s)，求质点在t=3时的速度.解：v=s′=(t3)′=3t3－1=3t2当t=3时，v=3×32=27m/s，∴质点在t=3时的速度为27m/s4.物体自由落体的运动方程是s=s(t)=gt2，(s单位m，t单位s，g=9.8m/s2)，求t=3时的速度.解：v=s′(t)=(gt2)′=g·2t2－1=gt.t=3时，v=g·3=9.8·3=29.4m/s，∴t=3时的速度为29.4m/s.2121215.求曲线y=x4在点P(2，16)处的切线方程.解：y′=(x4)′=4x4－1=4x3.∴y′|x=2=4·23=32∴点P(2，16)处的切线方程为y－16=32(x－2)，即32x－y－48=0奎屯王新敞新疆1.掌握四个公式，理解公式的证明过程.2.学会利用公式，求一些函数的导数.3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题10();()();(sin)cos;(cos)sin.nnCCxnxnQxxxx几种常见函数的导数：为常数小结