有两个约束条件的条件极值VIP免费

四川大学数学学院徐小湛30March2012SantaII,p.156有两个约束条件的条件极值推导三元函数在两个约束条件下取得极值的必要条件四川大学数学学院徐小湛30March2012SantaII,p.156(,,)ufxyz目标函数(,,)0xyz(,,)0xyz约束条件设函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处取得满足两个约束条件的极值。由隐函数知识，两个约束条件的方程可以确定两个一元函数y=y(x)和z=z(x)。将这两个一元函数代入目标函数，则一元函数u=f(x,y(x),z(x))=u(x)在点x=x处取得极值。由极值的必要条件，0(1)xyzdudydzfffdxdxdx四川大学数学学院徐小湛30March2012SantaII,p.156另一方面，将两个一元函数y=y(x)和z=z(x)代入两个约束条件方程，得两个恒等式：(,(),())0xyxzx(,(),())0xyxzx以上二式两端对x求导，得0(2)xyzdydzdxdx0(3)xyzdydzdxdx四川大学数学学院徐小湛30March2012SantaII,p.156由(1),(2),(3)式知道，以下三个梯度{1,,}dydzdxdx{,,}xyzffff{,,}xyz{,,}xyz在点(x,y,z)处都与向量垂直。所以这三个梯度在点(x,y,z)处是共面的。这就是函数u=f(x,y,z)在(x,y,z)处取得满足两个约束条件的极值的必要条件。四川大学数学学院徐小湛30March2012SantaII,p.156约束条件和(,,)ufxyz函数取得满足(,,)0xyz(,,)0xyz,,f共面]0[xyzxyzxyzffff即它们的混合积为零：的极值的必要条件是：命题四川大学数学学院徐小湛30March2012SantaII,p.156华阳南湖2012.3.18