“构造法”在立体几何中的应用 学法指导VIP免费

“”构造法在立体几何中的应用余国清在许多立体几何问题中，由于图形的不规则，因而线面关系也不是很直观、明显，如果我们依题设条件，构造出一个特殊的几何体（如：正方体、长方体、正四面体等），并将“”其嵌入其中，有些线面的关系就会变得更加清晰，问题也就迎刃而解。例1.对于直线m、n和平面α、β，能得出αβ⊥的一个条件是（）A.mn⊥，m//α，n//βB.C.D.解析：如图1所示，构造一个正方体ABCD—A1B1C1D1进行观察判断，对于A，把AD看作直线m，BB1看作直线n，把平面BB1C1C作为平面α，平面AA1C1C作为β。虽满足mn⊥，m//α，n//β，但α不垂直于β，从而否定（A）。同样可排除（B）、（D），因此选（C）。图1点评：空间的线面关系的判断，若是以选择题出现，通常采用构造一个符合已知条件的立体图形，来排除其中的错误命题。例2.正三棱锥S—ABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF、SA所成的角等于（）A.90°B.60°C.45°D.30°解析：本题的正三棱锥S—ABC即为正四面体，将正四面体S—ABC“”嵌入到正方体中，使正四面体的棱分别是正方体六个面的面对角线（如图2所示）。易知EF是正方体的两底面中心的连线，与正方体的一条侧棱平行，而SA与该侧棱所成角是45°，故异面直线EF与SA所成的角等于45°，故选（C）项。图2点评：由所给的几何体它的各棱长都相等，极易联想到正方体。本题通过构造一个正方体，将正四面体S—ABC“”嵌入其中，使得所求问题变得非常直观明了。例3.如图3所示，已知三棱锥P—ABC，PA=BC=，PB=AC=10，PC=AB=，试求三棱锥P—ABC的体积。图3解析：注意到三棱锥有三对对边分别相等，若把它放在一个特定的长方体中，则问题不难解决。如图4所示，构造一个长方体AEBG—FPDC，易知三棱锥P—ABC的各边分别是长方体的面对角线。不妨令PE=x，EB=y，EA=z则由已知有解得x=6，y=8，z=10从而故所求三棱锥P—ABC的体积为160。图4点评：本题也可看作是将三棱锥P—ABC“”补形成一个长方体，由于长方体的体积更易“”“”计算，但这种补形是有一定难度的，如果我们平时对长方体进行过不同形式的分割的“”话，那么将三棱锥嵌入长方体中就十分自然。例4.已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O1到平面ABC的距离为（）A.B.C.D.解析：作出这个图形有一定困难，抓住O、A、B、C这四个关键点，构造一个空间图形，结合条件加以分析。由条件知OA=OB=OC=1，∠AOB=BOC=AOC=∠∠如图5所示，球心O与A、B、C三点构成正三棱锥O—ABC则其高故选（B）项图5点评：在许多球的问题中，要画出实际空间图形比较困难，但我们可以通过球心、球“”面上的点以及切点等的连线构造多面体（俗称骨架图），把球问题转化为多面体问题来加以解决。