随机向量函数的分布与数学期望VIP免费

.,),,(,,,,的分布分布确定的如何通过的函数关系与并且已知表示该人的血压年龄和体重分别表示一个人的和令有一大群人ZYXYXfZYXZZYX为了解决类似的问题,下面我们讨论两个随机变量函数的分布.一、问题的引入§3.3随机向量函数的分布与数学期望一、离散型随机向量的函数的分布设为二维离散型随机向量，概率分布为),(YX.,2,1,,},{jiyYxXPpjiij),(YXgZ),(yxg为二元函数，则随机向量函数的概率分布为：.},{}),({}{),(:,kjizyxgjijikkyYxXPzYXgPzZP表上作业法例1若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求Z=X+Y的概率函数.解)()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0br+a1br-1+…+arb0riirYiXP0),(由独立性r=0,1,2,…的分布ZXY水瓶座是一个富有开拓精神的人。水瓶座的人思维能力高于本能，是个先锋派人物。感兴趣的不是昨天而是明天。（摘自百度）我们班中有多少水瓶座的男生？假如我们班中有m名男生，其中X人是水瓶座的，p为任一名男生是水瓶座的概率.按理来说，都是确定的.我能数出m，星座作为私隐，我无从知晓.换而言之，X对我来说是个随机变量.其次，我可以很主观地认为于是，X~b(m,p).,,XmXpm1.12p女生勒？同样地，我们可以假设水瓶座的女生数目Y~b(n,p)，其中n为班中女生数目，1.12pX+Y服从什么分布？分布的可加性若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有可加性（卷积封闭性）.二项分布的可加性若Xb(m,p)，Yb(n,p)，Remark若Xib(ni,p)，且独立，则Z=X1+X2+…+Xkb(n,p),n=n1+n2+…+nk.且独立，则Z=X+Yb(m+n,p).春田花花幼稚园的校长经营了一家粉面档，麦兜好想知道究竟有几多人会帮衬它。设X为每天光顾的男性顾客。这是个典型的排队问题，所以可以设X~P(λ1)同样地，每天光顾的女性顾客数目Y~P(λ2)X+Y服从什么分布？泊松分布的可加性若XP(1)，YP(2)，RemarkXY不服从泊松分布.且独立，则Z=X+YP(1+2).解依题意riirYiXPrZP0),()(例3.13若X和Y相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为于是i=0,1,2,…j=0,1,2,…!)(ieiXPi11!)(jejYPj2212,λλ12λλ的泊松分布.riirYiXPrZP0),()(ee12---120!(-)!iririiri12()-120e!!!(-)!ririirriri12()12e(),!rrr=0,1,…即Z服从参数为的泊松分布.12λλ二、连续型随机向量的函数的分布设为二维连续型随机向量，密度函数为为二元函数，则随机向量函数的分布函数为：),(YX),(.),(yxgyxf),(YXgZ}),({)(zYXgPzFZzyxgdxdyyxf),(.),(更进一步，若设的密度函数为则下式对几乎处处成立：),(YXgZ,)(zfZz.)()(zFzfZZ例3.14设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的概率密度.Ddxdyyxf),(这里积分区域D={(x,y):x+y≤z}解Z=X+Y的分布函数是:ZFzPZzPXYz它是直线x+y=z及其左下方的半平面.xyzxy0化成累次积分,得zyxZdxdyyxfzF),()(yzZdydxyxfzF]),([)(固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令x=u-y,得zZdyduyyufzF]),([)(zdudyyyuf]),([变量代换交换积分次序xyzxy0y由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成dyyyzfzfZ),()(以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.dxxzxfzfZ),()(zZdudyyyufzF]),([)(特别地，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:dyyfyzfzfYXZ)()()(dxxzfxfzfYXZ)()()(下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.卷积公式连续型随机变量的和的卷积公式ThmThm设的密度函数为则的密度函数为),(YX,),(yxfYXZ.),(),()(dyyyzfdxxzxfzfz特别地，当相互独立时，YX,dxxzfxfzfYXz)()()(.)()(dyyfyzfYX习惯上，函数的卷积定...