随机变量的数学期望4-1VIP免费

退出退出一一四四二二退出三三退出返回1.定性定义随机变量X的平均取值称为其数学期望,记为(),DX随机变量X对其平均取值以偏差平方的形式所给出的平均波动，称为X的方差，记为亦即().EX2(){[()]}.DXEXEX方差实际上也是一种数学期望，是随机变量减其数学期望的平方的数学期望.用较为专业的术语讲，它是随机变量的函数的数学期望.因此，求随机变量平均取值以及随机变量对其平均取值以偏差平方形式给出的平均波动问题，从本质上而言，归根结底就是如何求随机变量及其函数的数学期望问题.假设在n个考试成绩中，xi分的有mi个(i=1,2,•••,k),那么全部考分的平均分=?x1m1+…+xkmkkiiimxn1平均分=n退出上式表明，将各种不同考分xi(i=1,2,•••,k)与其在全体考生中所占的百分比fi相乘后再相加结果就是全部考分的平均分！类似地可解释其还等于在整个平面上的重积分.退出返回()()EXxfxdx()(,).EXxfxydxdy1()iiiEXxp2.随机变量数学期望E(X)的定量算法⑴对离散型变量⑵对连续型变量11();iijjiEXxp或或fxdx().【对连续变量求算公式的简短解释】依概率密度的含义，连续随机变量在长为dx的区间上因此，该随机变量在整xfxdx()近似取值x的概率应等于个实轴上的平均取值就应等于前二者之乘积在整个实轴上的全部累加之和，即应等于其在实轴上的积分EXxfxdx()().退出返回3.六大常见分布的数学期望与分布参数的关系分布符号数学期望E(X)备注B(1,p)p0-1分布B(n,p)np二项分布P()迫松分布均匀分布E(λ)1/λ指数分布N(,2)正态分布2ababU(,)运用数学期望的定量算法可以证实六大常见分布的数学期望与分布参数的关系如下表所示退出返回*1.随机变量的常见函数、数学期望及其名称是X与Y与各自数学期望之差的乘积的数学期望.⑴k阶原点矩(),1,2,kEXk【例如】恰是X自身的数学期望.X的一阶原点矩()EX是X平方的数学期望.X的二阶原点矩2()EXX的二阶中心矩2{[(()]}EXEX是X减其数学期望的平方的数学期望.⑷k+l阶混合中心矩klEXEXYEYkl{[(()][(()]},,1,2,⑵k阶中心矩{[(()]},1,2,kEXEXkX的二阶混合原点矩是X与Y乘积的数学期望.EXY()X的1+1阶混合中心矩EXEXYEY[(()(()]⑶k+l阶混合原点矩klEXYkl(),,1,2,EgXYgxyfxydxdy[(,)](,)(,).退出返回定理一设一元函数g(x)连续，则[()]()().EgXgxfxdx当X是连续型变量且其一维概率密度为时()fx1[()]();iiiEgXgxp当X是离散型变量且一维分布律为时{}iiPXxp定理二设二元函数g(x,y)连续，则当(X,Y)是连续型变量且二维联合概率密度为时(,)fxy11[(,)](,);ijijjiEgXYgxyp当(X,Y)是离散型变量且二维分布律为时{,}ijijPXxYyp2.函数数学期望的一般算法退出(设C是常数)()ECC()()ECXECX()()()EXYEXEY()()()EXYEXEY又当X，Y相互独立时4)3)()()XCCEEX1)2)返回【选证】EXYxyfxydxdy()()(,)xfxydxdyyfxydxdy(,)(,)EXEY()().若X，Y相互独立,则EXYxyfxydxdy()(,)XYxyfxfydxdy()()XYxfxdxyfydy()()EXEY()().退出()()EXEY231返回试求随机变量U=2X+3Y+1与V=YZ－4X的数学期望.解()();25311144()()EVEYZX4()()()()EVEYEZEX4()()().1184568 Y,Z相互独立,()()EUEXY231()()EYZEX4例3-1设X,Y,Z相互独立,E(X)=5,E(Y)=11,E(Z)=8.()()()EYZEYEZ,∴例4-1已知X的分布律如下表所示，试求E(X)，E(X2)和E(2X－3X2).X2349Pi1/85/81/81/841()iiiEXxp()()()()151123498888,3084221()iiiEXxp()()()()15114916818888,1468EXX2(23)EXEX22()3().3788解退出返回iijiiijiEXxpxp323.111()0(0.1)1(0.3)2(0.6).15jijjjijjEYypyp322.111()(.)(.)106204.14EXY()EXEY()()...151429解例4-2已知(X,Y)的联合分布律如右表所...