第6章第6节(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1“．命题对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”“的证明：cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了()A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证明法“”解析：因为证明过程是从左往右，即由条件⇒结论．答案：B2．设a，b∈R“，则a＋b＝1”“是4ab≤1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件“解析：若a＋b＝1”，则4ab＝4a(1－a)＝－4(a－)2＋1≤1“；若4ab≤1”，取a＝－4，b＝1，a＋b＝－3“，即a＋b＝1”“不成立；则a＋b＝1”“是4ab≤1”的充分不必要条件．答案：A3．设a，b，c∈(∞－，0)，则a＋，b＋，c＋()A．都不大于－2B．都不小于－2C．至少有一个不大于－2D．至少有一个不小于－2解析：因为a＋＋b＋＋c≤＋－6，所以三者不能都大于－2.答案：C4．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1≤－0C.－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0解析：因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.答案：D5．若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是()A．a＋＞b＋B.＞C．a＋＞b＋D.＞解析：∵a＞b＞0，∴＞.又a＞b，∴a＋＞b＋.答案：A6．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P、Q的大小关系是()A．P＞QB．P＝QC．P＜QD．由a的取值确定解析：假设P
b2＋c2.答案：a2>b2＋c28．如果a＋b＞a＋b，则a、b应满足的条件是________．解析：∵a＋b＞a＋b⇔(－)2(＋)＞0⇔a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b9．设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是________(填所有正确条件的代号)．①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z为直线．解析：①中x⊥平面z，平面y⊥平面z，∴x∥平面y或x⊂平面y.又∵x⊄平面y，故x∥y成立．②中若x，y，z均为平面，则x可与y相交，故②不成立．③x⊥z，y⊥z，x，y为不同直线，故x∥y成立．④z⊥x，z⊥y，z为直线，x，y为平面可得x∥y，④成立．⑤x，y，z均为直线可异面垂直，故⑤不成立．答案：①③④三、解答题(共3个小题，满分35分)10．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：＜a.证明：要证0，只需证(a－b)(2a＋b)>0，只需证(a－b)(a－c)>0.因为a>b>c，所以a－b>0，a－c>0，所以(a－b)(a－c)>0，显然成立．故原不等式成立．11．设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？解：(1)证明：假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以数列{Sn}不是等比数列．(2)当q＝1时，{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列；假设当q≠1时数列{Sn}是等差数列，则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以当q≠1时数列{Sn}不是等差数列．12．设f(x)＝3ax2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f(0)＞0，f(1)＞0，求证：a＞0且－2＜＜－1.证明：f(0)＞0，∴c＞0，又∵f(1)＞0，即3a＋2b＋c＞0.①而a＋b＋c＝0即b＝－a－c代入①式，∴3a－2a－2c＋c＞0，即a－c＞0，∴a＞c.∴a＞c＞0.又∵a＋b＝－c＜0，∴a＋b＜0.∴1＋＜0，∴＜－1.又c＝－a－b，代入①式得，3a＋2b－a－b＞0，∴2a＋b＞0，∴2＋＞0，∴＞－2.故－2＜＜－1.
