第三章 位姿描述和齐次变换VIP免费

第三章第三章位姿描述和齐次变换位姿描述和齐次变换一、行列式和矩阵1.行列式按照行（或列）展开法则：行列式等于它的任意一行（或列）各元素与其对应的代数余子式乘积之和。3.13.1相关知识回顾相关知识回顾3.列矩阵4.矩阵相等：两同型矩阵（行数和列数都相等）对应元素相等。2.行矩阵（（22）矩阵与数相乘：）矩阵与数相乘：该数与矩阵各元素相乘。5.单位矩阵：主对角线元素为1，其它所有的元素都为0的方阵。6.矩阵的运算（（11）矩阵的加法：）矩阵的加法：两同型矩阵的对应元素相加。（3）矩阵与矩阵相乘：（4）矩阵的转置：把矩阵的行换成同序数的列，记为7.矩阵的逆（逆矩阵）8.分块矩阵：分块后的矩阵与普通矩阵的运算相同。9.正交矩阵：如果，则A为正交矩阵。它满足：如果是正交矩阵，则行列式和矩阵的区别：行列式和矩阵的区别：矩阵是按一定方式排成的数表；行列式是一个数。（b）左手坐标系（a）右手坐标系二、直角坐标系若基矢量相互正交，即它们在原点o处两两相交成直角，则它们构成直角坐标系或笛卡儿坐标系。斜角坐标系若按右手法则绕oz轴转900可以使ox轴转向oy轴，则称为右手坐标系；按左手法则形成的坐标系称左手坐标系。本课程使用右手坐标系。其中θ是a和b两矢量间的夹角，如图所示。三、矢量的点积（内乘积或标量积）换句话说：一个矢量在另一个矢量上的投影等于该矢量与另一矢量一个矢量在另一个矢量上的投影等于该矢量与另一矢量方向上单位矢量的点积。方向上单位矢量的点积。再令a=j（j为a方向上的单位矢量），则即两矢量方向上单位矢量的点乘等于两矢量夹角的余弦。即两矢量方向上单位矢量的点乘等于两矢量夹角的余弦。标量积令b=i（i为b方向上的单位矢量），则四、矢量的叉积（矢量积或叉乘积）其中矢量c的模为:其中θ是a和b间小于等于1800的夹角，若将a按右手法则绕c转θ角至b，右手拇指指向为c的正方向（如上图所示），c与a、b两者垂直。则叉乘积若a和b用分量的形式表示为:a和b的点乘为：将点乘和叉乘应用于右手笛卡尔坐标系的单位矢量i，j，k，有：3.2位姿描述与坐标变换3.2.1刚体位置姿态（位姿）描述a)位置的描述采用直角坐标描述点的位置，因此，刚体F的位置描述，即OB点在{A}中描述可用一个3×1的列矢量（位置矢量）表示，即其中Px、Py和Pz是点OB在{A}系中的三个坐标分量。b)b)姿态（方位）的描述姿态（方位）的描述采用旋转矩阵来表示刚体姿态（方位），即由{B}系的三个单位主矢量相对于坐标系{A}的方向余弦组成：既表示了刚体F在{A}系中的方位，也描述了{B}系在{A}系中的姿态。其中：),cos(cosABxxxByBzBxAyAzA3.2.2坐标变换如图所示，坐标系{B}与{A}方向相同，但原点不重合。坐标平移一、坐标平移一、坐标平移此式称为平移方程。其中是B系中的原点在A系中的表示。二、坐标旋转二、坐标旋转坐标旋转如图所示，{B}与{A}有共同的坐标原点，但方位不同。令和分别是{A}和{B}中的单位主矢量，点P在两坐标系中各坐标轴上的坐标分量分别为：和利用点乘的性质和上式共同求解得将代入上面三式中并写成矩阵形式得所以有上式简写为：此式称为坐标旋转方程。其中旋转矩阵表示了坐标系{B}相对于{A}的方位，正好与刚体姿态的描述相同。同理也可得和都是正交矩阵，因此满足由与互逆，可得旋转矩阵的几何意义：旋转矩阵在几何上表示了发生相互旋转的两坐标系各主轴之间的相互方位关系。若把写成行向量的形式，则其中每一个元素都是一个列向量。容易得出满足六个约束条件（称正交条件）：因此写出三个基本的旋转矩阵，即分别绕x、y和z轴转θ角的旋转矩阵：xyzx’y'z'θθxyzx’y'z'θθxyzx’y'z'θθx’y’z’xyzx’y’z’xyzx’y’z’xyz例3.1若从基坐标系({B})到手爪坐标系({E})的旋转变换矩阵为。（1）画出两坐标系的相互方位关系（不考虑{E}的原点位置）；（2）如果给出OE({E}系的原点）在{B}中的位置矢量为（1，2，2），画出两坐标系的相对位姿关系；（3）求a，b，c的值。解：xEyEzExByBzB(1)xBzByBxEzEyExBzByBxEzEyE(1,2,2)(2)(3)a=0，b=1，c=0三、一般变换一般的情况：坐标系{B}的原点既不与{A}重合，方位也不相同。{C}系与｛Ｂ｝系原点重合，但方位...