(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．(·福州质量检查)如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量a－b可表示为()A．3e2－e1B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2解析：连接a，b的终点，并指向a的向量是a－b.答案：C2．给出下列命题：①向量AB与向量BA的长度相等，方向相反；②AB＋BA＝0；③a与b平行，则a与b的方向相同或相反；④两个相等向量的起点相同，则其终点必相同；⑤AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线．其中不正确的个数是()A．2B．3C．4D．5解析：②中AB＋BA＝0，而不等于0；③中a或b为零向量满足a与b平行，但不能说a与b方向相同或相反，因为零向量方向是任意的；⑤中AB与CD所在直线还可能平行，故②③⑤错．答案：B3．(·四川成都二诊)已知A、B、C三点共线，且AC＋2CB＝0，则OC等于()A．2OA－OBB．2OB－OAC．2OB－2OAD．2OA－2OB解析：AC＋2CB＝0⇒AC＝2BC⇒OC－OA＝2(OC－OB)⇒OC＝2OB－OA.答案：B4．若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①式的等价式是AB－BC＝DA－CD，左边＝AB＋CB，右边＝DA＋DC，不一定相等；②式的等价式是AC－BC＝AD－BD，AC＋CB＝AD＋DB＝AB成立；③式的等价式是AC－DC＝AB＋BD，AD＝AD成立．答案：C5．(·辽宁沈阳质检二)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，AN＝λAB＋μAC，则λ＋μ的值为()A.B.C.D．1解析：∵M为边BC上任意一点，∴可设AM＝xAB＋yAC(x＋y＝1)．∵N为AM中点，∴AN＝AM＝xAB＋yAC＝λAB＋μAC.∴λ＋μ＝(x＋y)＝.答案：A6．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC＝a，BD＝b，则AF等于()A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b解析：如图，AF＝AD＋DF，由题意知，DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB，∴DF＝AB.∴AF＝a＋b＋·＝a＋b.答案：B二、填空题7．(·南京模拟)设向量e1，e2不共线，AB＝3(e1＋e2)，CB＝e2－e1，CD＝2e1＋e2，给出下列结论：①A、B、C共线；②A、B、D共线；③B、C、D共线；④A、C、D共线，其中所有正确结论的序号为________．解析：AC＝AB－CB＝4e1＋2e2，BD＝CD－CB＝3e1，由向量共线的充要条件b＝λa(a≠0)可得A、C、D共线，而其他λ无解．答案：④8．设O是△ABC内部一点，且OA＋OC＝－2OB，则△AOB与△AOC的面积之比为________．解析：设D为AC的中点，连接OD，则OA＋OC＝2OD.又OA＋OC＝－2OB，所以OD＝－OB，即O为BD的中点，从而容易得△AOB与△AOC的面积之比为1.答案：19.如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为________．解析：AO＝(AB＋AC)＝AM＋AN，∵M、O、N三点共线，∴＋＝1，∴m＋n＝2.答案：2三、解答题10．设i、j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且OA＝－2i＋mj，OB＝ni＋j，OC＝5i－j，若点A、B、C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m、n的值.【解析方法代码108001050】解析：AB＝OB－OA＝(n＋2)i＋(1－m)j，BC＝OC－OB＝(5－n)i＋(－2)j.∵点A、B、C在同一条直线上，∴AB∥BC，即AB＝λBC，∴(n＋2)i＋(1－m)j＝λ[(5－n)i＋(－2)j]，∴，解得或.11.如图，△ABC中，AD＝AB，DE∥BC交AC于点E，BC边上的中线AM交DE于点N.设AB＝a，AC＝b，用a、b表示向量AE、BC、DE、DN、AM、AN.解析：⇒AE＝AC＝b，BC＝AC－AB＝b－a.由△ADE∽△ABC，得DE＝BC＝(b－a)．又AM是△ABC的中线，DE∥BC，且AM与DE交于点N，得DN＝DE＝(b－a)．AM＝AB＋BM＝a＋BC＝a＋(b－a)＝(a＋b)．⇒AN＝AM＝(a＋b)．12．如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，AE＝AD，AB＝a，AC＝b.(1)用a、b表示向量AD、AE、AF、BE、BF；(2)求证：B、E、F三点共线.【解析方法代码108001051】解析：(1)延长AD到G，使AD＝AG，连结BG、CG，得到▱ABGC，所以AG＝a＋b，AD＝AG＝(a＋b)，AE＝AD＝(a＋b)，AF＝AC＝b，BE＝AE－AB＝(a＋b)－a＝(b－2a)．BF＝AF－AB＝b－a＝(b－2a)．(2)证明：由(1)可知BE＝BF，所以B、E、F三点共线．
