(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．(·宁夏银川实验中学一模)已知正方形ABCD中，E是DC的中点，且AB＝a，AD＝b，则BE等于()A．b＋aB．b－aC．a＋bD．a－b解析：BE＝BC＋CE＝－a＋b.答案：B2．已知a，b是不共线的向量，若AB＝λ1a＋b，AC＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A、B、C三点共线的充要条件为()A．λ1＝λ2＝－1B．λ1＝λ2＝1C．λ1λ2－1＝0D．λ1λ2＋1＝1解析：∵A、B、C三点共线⇔AB与AC共线⇔AB＝kAC⇔∴λ1λ2－1＝0.答案：C3．已知向量e1与e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y等于()A．3B．－3C．0D．2解析：∵(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，∴(3x－4y－6)e1＋(2x－3y－3)e2＝0，∴由①－②得x－y－3＝0，即x－y＝3，故选A.答案：A4．P＝{α|α＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{β|β＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于()A．{(1，－2)}B．{(－13，－23)}C．{(－2,1)}D．{(－23，－13)}解析：P中，α＝(－1＋m,1＋2m)，Q中，β＝(1＋2n，－2＋3n)．∴∴此时α＝β＝(－13，－23)．答案：B5．已知点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下面的结论：①直线OC与直线BA平行；②AB＋BC＝CA；③OA＋OC＝OB；④AC＝OB－2OA.其中正确结论的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：kOC＝＝－，kBA＝＝－，∴OC∥BA，①正确；∵AB＋BC＝AC，∴②错误；∵OA＋OC＝(0,2)＝OB，∴③正确；∵OB－2OA＝(－4,0)，AC＝(－4,0)，∴④正确．故选C.答案：C6．已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(k＋1，k－2)，若A、B、C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是()A．k＝－2B．k＝C．k＝1D．k＝－1解析：若点A、B、C不能构成三角形，则向量AB，AC共线，∵AB＝OB－OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC＝OC－OA＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.答案：C二、填空题7．(·江西卷)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝________.解析：由已知得a－c＝(3－k，－6)，又∵(a－c)∥b，∴3(3－k)＋6＝0，∴k＝5.答案：58．已知点A(1，－2)，若点A、B的中点坐标为(3,1)，且AB与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.解析：由A、B的中点坐标为(3,1)可知B(5,4)，所以AB＝(4,6)，又∵AB∥a，∴4λ－1×6＝0，∴λ＝.答案：9．(·安徽卷)给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动，若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________．解析：建立如图所示的坐标系，则A(1,0)，B(cos120°，sin120°)，即B.设∠AOC＝α，则OC＝(cosα，sinα)．∵OC＝xOA＋yOB＝(x,0)＋＝(cosα，sinα)．∴∴∴x＋y＝sinα＋cosα＝2sin(α＋30°)．∵0°≤α≤120°.∴30°≤α＋30°≤150°.∴x＋y有最大值2，当α＝60°时取最大值．答案：2三、解答题10．若a、b为不共线向量，(1)试证2a－b,2a＋b为平面向量的一组基底；(2)试用2a－b,2a＋b表示3a－b.【解析方法代码108001052】解析：(1)证明：∵a，b不共线，则2a＋b≠0，假设2a－b∥2a＋b，则2a－b＝λ(2a＋b)，整理得：(2－2λ)a＝(λ＋1)b，∴a∥b，这与a、b不共线矛盾．即2a－b,2a＋b为平面向量的一组基底．(2)设3a－b＝x(2a－b)＋y(2a＋b)，即3a－b＝(2x＋2y)a＋(y－x)b，∴解得因此3a－b＝(2a－b)＋(2a＋b)．11．已知A(1,1)、B(3，－1)、C(a，b)．(1)若A、B、C三点共线，求a、b的关系式；(2)若AC＝2AB，求点C的坐标.【解析方法代码108001053】解析：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC＝(a－1，b－1)，∵A、B、C三点共线，∴AB∥AC，∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.(2)∵AC＝2AB，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)，∴，解得∴点C的坐标为(5，－3)．12．(·浙江嘉兴一中一模)三角形的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量m＝(3c－b，a－b)，n＝(3a＋3b，c)，m∥n.(1)求cosA的值；(2)求sin(A＋30°)的值．解析：(1)因为m∥n，所以＝，得a2＝b2＋c2－bc＝b2＋c2－2bccosA.所以cosA＝.(2)由cosA＝得sinA＝，sin(A＋30°)＝sinAcos30°＋cosAsin30°＝×＋×＝.
