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简单的三角恒等变换二VIP免费

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3.2简单的三角恒等变换(二)3.2简单的三角恒等变换(二)1.通过三角恒等变换,形如的函数转化为的函数;(重点)sincosaxbxsin()yAx2.灵活利用公式,通过三角恒等变换,解决函数的最值、周期、单调性等问题;(重点、难点)3.灵活运用三角公式解决一些实际问题.结合右图体会公式的推导过程22tantan2=1tan你能把下列各式化为一个角的三角函数形式吗?31sincos;22(1)sincos;(2)cossinsincossin();666222(sincos)2(cossinsincos)22442sin();4sincosaxbx(3)?2222222222222222cos,sinsincos(sincos)cossinsincossincoscossinsin.令abababaxbxababxxabababxxabxxabxsincos的变形及应用axbxsincosaxbx(3)能化成一个角的三角函数值吗?例1.求函数的周期,最大值和最小值.sin3cosyxx分析:利用三角恒等变换,先把函数式化简,再求相应的值.sin3cos132(sincos)22yxxxx解:2(sincoscossin)332sin().3xxxT2周期,最大值为2,最小值为-2.通过三角恒等变换,我们把形如的函数转化为形如的函数,从而使问题得到简化.sincosyaxbxyAsin(x)22.()cos2sin,().fxxxfx例已知函数求的单调增区间1cos211()cos2cos2.222xfxxx解:+2k2x2k,kZf(x)kxk,kZ.2当时,为增函数,即f(x)k,k(kZ).2函数的单调增区间为三角变换在化简,证明中的应用.cos10tan103.sin50例3.化简sin10cos103cos10sin50sin103cos10cos10cos10sin50解:原式()()13sin10cos10222sin50sin(1060)sin(50)222.sin50sin50三角恒等变换过程与方法,实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换.(1)找差异:角、名、形的差别;(2)建立联系:角的和差关系、倍半关系等,名、形之间可以用哪个公式联系起来;(3)变公式:在实际变换过程中,往往需要将公式加以变形后正用或逆用公式,如升、降幂公式,cosα=cosβcos(α-β)-sinβsin(α-β),1=sin2α+cos2α,1tan301tan30=tan45tan301tan45tan30=tan(45°+30°)等。提升总结:常见的三角变形技巧有①切割化弦;②“1”的变用;③统一角度,统一函数,统一形式等等.三角变换在实际问题中的应用例4.如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为的扇形,C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形,记,问当角取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积.3COP分析:(1)找出与之间的函数关系;S(2)由得出的函数关系求S的最大值.OABPCDQRtOBCOBcos,BCsin.DARtOADtan603.OAo解在中,在中,:333OADABCsin,3333ABOBOAcossin.32ABCDS,3SABBC(cossin)sin33sincossin3设矩形的面积为则13sin2(1cos2)261313(sin2cos2)226313sin(2).66350,2.36662+==626133S=.6633=ABCD.66最大由得当,即时,因此,当时,矩形的面积最大,最大面积为221.(2012()cos23sincossin2fxxxxx日照高一检测)函数的最小正周期是().A.B.C.2D.4()3sin2cos22sin(2).62.2fxxxxT解:B22.ysinx23sinxcosx3cosx2(,).632求函数在区间上的值域1cos21cos23sin232223sin2cos242sin(2)4.6xxyxxxx解:=2cos10sin203..sin70求值:2cos(3020)sin20cos202(cos30cos20sin30sin20)sin20cos203cos203.cos20解:原式4.已知半径为1的半圆,PQRS是半圆的内接矩形,如图,P点在什么位置时,矩形的面积最大,并求最大面积的值.PQRSO分析:连接OP,设用角表示面积.,POSPQRSOPOS,OSOPcoscos,PSOPsinsin,解:连接OP,设则PORSs2OSPS2sincossin2.=s1.4矩形的面积为当时,最大,最大值为1.yasinxbcosxyAsin(x);2.形如的函数化成形式求解,体现化归思想用函数法求平面图形面积的最大或最小值,常以某个变化的角作为自变量,再将面积表示为这个角的函数,转化为三角函数的最值问题.不要对一切人都以不信任的眼光看待,但要谨慎而坚定。——德谟克里特

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