v【创优导学案】届高考数学总复习第四章三角函数与解三角形4-3课后巩固提升（含解析）新人教A版(对应学生用书P325解析为教师用书独有)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．设非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与a＋b的夹角为()A．30°B.60°C．90°D.120°解析B由三角形法则可知，a，b，a＋b可构成正三角形，故夹角为60°.2．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝()A．(－15,12)B.0C．－3D.－11解析C(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－3.3．(·绵阳模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x的值为()A．－7B.9C．4D.－4解析B因为a－b＝(1－x,4)，所以a·(a－b)＝1－x＋8＝0，解得x＝9.4．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，n)，若|a＋b|＝a·b，则n＝()A．－3B.－1C．1D.3解析D∵a＋b＝(3,1＋n)，∴|a＋b|＝.又∵a·b＝1×2＋1×n＝2＋n，∴＝2＋n，解得n＝3.5．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量m＝(b－c，c－a)，n＝(b，c＋a)，若m⊥n，则角A的大小为()A.B.C.D.解析B∵m⊥n，∴m·n＝0，即(b－c)b＋(c－a)(c＋a)＝0，b2－bc＋c2－a2＝0，∴cosA＝＝＝，∴A＝.6．△ABC内有一点O，满足OA＋OB＋OC＝0，且OA·OB＝OB·OC，则△ABC一定是()A．钝角三角形B.直角三角形C．等边三角形D.等腰三角形解析D∵OA＋OB＋OC＝0，∴O为重心，∵OA·OB＝OB·OC，∴OB·AC＝0，即OB⊥AC，∴BA＝BC，故△ABC是等腰三角形．二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a·b＋b·b的值为________．解析a·b＋b·b＝|a||b|cos60°＋|b|2＝1×2×＋4＝5.【答案】58．(·江苏高考)已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．解析由题意知：a·b＝(e1－2e2)(ke1＋e2)＝0，即ke＋e1e2－2ke1e2－2e＝0，即k＋cos－2kcos－2＝0，化简可求得k＝.【答案】9．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则OA·(OB＋OC)的最小值为________．解析如图所示，设AO＝x，OM＝2－x，所以OA·(OB＋OC)＝OA·2OM＝－2x(2－x)＝2x2－4x＝2(x－1)2－2，故当x＝1时，OA·(OB＋OC)取最小值－2.【答案】－2三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)(·杭州模拟)已知平面内A、B、C三点在同一条直线上，OA＝(－2，m)，OB＝(n,1)，OC＝(5，－1)，且OA⊥OB，求实数m、n的值．解析由于A、B、C三点在同一条直线上，则AC∥AB，而AC＝OC－OA＝(7，－1－m)，AB＝OB－OA＝(n＋2，1－m)，∴7(1－m)－(－1－m)(n＋2)＝0，即mn＋n－5m＋9＝0，①又∵OA⊥OB，∴－2n＋m＝0.②联立①②，解得或11．(12分)已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.解析(1)设c＝(x，y)，由c∥a和|c|＝2可得∴或∴c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0.∴2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0,2×5＋3a·b－2×＝0，∴a·b＝－，∴cosθ＝＝＝－1，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.12．(16分)已知|a|＝，|b|＝1，a与b的夹角为45°，求使向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角的λ的取值范围．解析由|a|＝，|b|＝1，a与b的夹角为45°，则a·b＝|a||b|cos45°＝×1×＝1，而(2a＋λb)·(λa－3b)＝2λa2－6a·b＋λ2a·b－3λb2＝λ2＋λ－6.设向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角为θ，则cosθ＝>0，且cosθ≠1，∴(2a＋λb)·(λa－3b)>0，得λ2＋λ－6>0，∴λ>2或λ<－3.假设cosθ＝1，则2a＋λb＝k(λa－3b)(k>0)，∴解得k2＝－，k不存在．故使向量2a＋λb和λa－3b夹角为0的λ不存在．∴当λ>2或λ<－3时，向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角．
