【创优导学案】届高考数学总复习第四章三角函数与解三角形4-4课后巩固提升（含解析）新人教A版(对应学生用书P323解析为教师用书独有)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．(·武汉质检)已知P是△ABC所在平面内一点，若CB＝λPA＋PB，其中λ∈R，则点P一定在()A．△ABC的内部B.AC边所在直线上C．AB边所在直线上D.BC边所在直线上解析B由题意知：CB－PB＝λPA，即CB＋BP＝λPA，∴CP＝λPA，即CP与PA共线，∴点P在AC边所在直线上．2．△ABC的三个内角成等差数列，且(AB＋AC)·BC＝0，则△ABC一定是()A．等腰直角三角形B.非等腰直角三角形C．等边三角形D.钝角三角形解析C在△ABC中，BC边的中线又是BC边的高，故△ABC为等腰三角形，又△ABC的三个内角成等差数列，所以等腰△ABC的一角为，所以△ABC一定为等边三角形．3．河水的流速为2m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为()A．10m/sB.2m/sC．4m/sD.12m/s解析B如图所示，小船在静水中的速度为＝2m/s.4．(·济南模拟)已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2，则点P的轨迹是()A．圆B.椭圆C．双曲线D.抛物线解析DPA＝(－2－x，－y)，PB＝(3－x，－y)，∴PA·PB＝(－2－x，－y)·(3－x，－y)＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2.即y2＝x＋6.5．已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上，满足2OA＋AB＋AC＝0(其中O为坐标原点)，又|AB|＝|OA|，则向量BA在向量BC方向上的投影为()A．1B.－1C.D.－解析C由2OA＋AB＋AC＝(OA＋AB)＋(OA＋AC)＝OB＋OC＝0得，OB＝－OC，即O，B，C三点共线．又|AB|＝|OA|＝1，故向量BA在向量BC方向上的投影为|BA|cos＝.6．已知圆O的半径为a，A，B是其圆周上的两个三等分点，则OA·AB等于()A.a2B.－a2C.a2D.－a2解析B∵|OA|＝a，|AB|＝a，〈OA，AB〉＝，∴OA·AB＝|OA|·|AB|·cos＝a×a×＝－a2.二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，则a·b的最大值为________．解析a·b＝sinθ＋cosθ＝2sin≤2.【答案】28．若|AB|＝2，|AC|＝3，|AB＋AC|＝，则∠CAB＝________.解析|AB＋AC|2＝AB2＋2AB·AC＋AC2＝4＋2AB·AC＋9＝19，∴AB·AC＝3，cos∠CAB＝＝＝，∴∠CAB＝60°.【答案】60°9．(·南京模拟)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为.以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．解析∵|a＋b|2－|a－b|2＝4a·b＝4|a||b|·cos＝4>0，∴|a＋b|>|a－b|.又|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3，∴|a－b|＝.【答案】三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.解析方法一：AD·CE＝·＝－|AC|2＋CB·CA＋AB·AC＋AB·CB＝－|AC|2＋|CB||CA|cos90°＋|AC|2cos45°＋|AC|2cos45°＝－|AC|2＋|AC|2＝0，∴AD⊥CE，即AD⊥CE.方法二：建立如图所示的直角坐标系，设A(a,0)，则B(0，a)，E(x，y)．∵D是BC的中点，∴D.又∵AE＝2EB，即(x－a，y)＝2(－x，a－y)，∴解得∵AD＝－(a,0)＝，OE＝CE＝，∴AD·CE＝－a×＋a×＝0.∴AD⊥CE，即AD⊥CE.11．(12分)已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA＝2AN，求点N的轨迹方程．解析设M(x0，y0)、N(x，y)．由MA＝2AN得(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，∴∵点M(x0，y0)在C上，∴(x0－3)2＋(y0－3)2＝4，即(3－2x－3)2＋(3－2y－3)2＝4.∴x2＋y2＝1.∴所求点N的轨迹方程是x2＋y2＝1.12．(16分)已知长方形ABCD，AB＝3，BC＝2，E为BC中点，P为AB上一点．(1)利用向量知识判定点P在什么位置，∠PED＝45°；(2)若∠PED＝45°，求证：P、D、C、E四点共圆．解析(1)如图，建立平面直角坐标系，则C(2,0)，D(2,3)，E(1,0)，设P(0，y)，∴ED＝(1,3)，EP＝(－1，y)(y>0)，∴|ED|＝，|EP|＝，ED·EP＝3y－1，代入cos45°＝，解得y＝2.∴点P在靠近点A的AB的三等分处．(2)当∠PED＝45°时，由(1)知P(0,2)，∴PD＝(2,1)，EP＝(－1,2)，∴EP·PD＝0，∴∠DPE＝90°，又∠DCE＝90°，∴D、P、E、C四点共圆．
