6.4数列求和、数列的综合应用考点一数列求和1.(课标Ⅰ,17,12分)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列的前n项和.解析(1)方程x2-5x+6=0的两根为2,3,由题意得a2=2,a4=3.设数列{an}的公差为d,则a4-a2=2d,故d=,从而a1=.所以{an}的通项公式为an=n+1.(2)设的前n项和为Sn,由(1)知=,则Sn=++…++,Sn=++…++.两式相减得Sn=+-=+-.所以Sn=2-.2.(安徽,18,12分)数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*.(1)证明:数列是等差数列;(2)设bn=3n·,求数列{bn}的前n项和Sn.解析(1)证明:由已知可得=+1,即-=1.所以是以=1为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)得=1+(n-1)·1=n,所以an=n2.从而bn=n·3n.Sn=1·31+2·32+3·33+…+n·3n,①3Sn=1·32+2·33+…+(n-1)·3n+n·3n+1.②①-②得-2Sn=31+32+…+3n-n·3n+1=-n·3n+1=.所以Sn=.3.(山东,19,12分)在等差数列{an}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,记Tn=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)nbn,求Tn.解析(1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d),即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n.(2)由题意知bn==n(n+1).所以Tn=-1×2+2×3-3×4+…+(-1)nn×(n+1).因为bn+1-bn=2(n+1),所以当n为偶数时,Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-bn-1+bn)=4+8+12+…+2n==,当n为奇数时,Tn=Tn-1+(-bn)=-n(n+1)=-.所以Tn=4.(四川,19,12分)设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).(1)证明:数列{bn}为等比数列;(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-,求数列{an}的前n项和Sn.解析(1)证明:由已知可知,bn=>0,当n≥1时,==2d,所以数列{bn}是首项为,公比为2d的等比数列.(2)函数f(x)=2x在(a2,b2)处的切线方程为y-=(ln2)(x-a2),它在x轴上的截距为a2-.由题意知,a2-=2-,解得a2=2.所以d=a2-a1=1,an=n,bn=2n,an=n·4n.于是,Sn=1×4+2×42+3×43+…+(n-1)×4n-1+n×4n,4Sn=1×42+2×43+…+(n-1)×4n+n×4n+1,因此Sn-4Sn=4+42+…+4n-n×4n+1=-n×4n+1=.所以Sn=.考点二数列的综合应用5.(安徽,12,5分)如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2.过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;…,依此类推.设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则a7=.答案6.(广东,19,14分)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn满足-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.解析(1)∵-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,∴令n=1,得+a1-6=0,解得a1=2或a1=-3.又an>0,∴a1=2.(2)由-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,得[Sn-(n2+n)](Sn+3)=0,又an>0,所以Sn+3≠0,所以Sn=n2+n,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+n-1]=2n,又由(1)知,a1=2,符合上式,所以an=2n.(3)证明:由(2)知,=,所以++…+=++…+<+++…+<+=+<+×=.7.(湖北,19,12分)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.解析(1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.(2)当an=2时,Sn=2n.显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立.当an=4n-2时,Sn==2n2.令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去),此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n;当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.8.(湖南,21,13分)已知函数f(x)=xcosx-sinx+1(x>0).(1)求f(x)的单调区间;(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点,证明:对一切n∈N*,有++…+<.解析(1)f'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.令f'(x)=0,得x=kπ(k∈N*).当x∈(2kπ,(2k+1)π)(k∈N)时,sinx>0,此时f'(x)<0;当x∈((2k+1)π,(2k+2)π)(k∈N)时,sinx<0,此时f'(x)>0,故f(x)的单调递减区间为(2kπ,(2k+1)π)(k∈N),单调递增区间为((2k+1)π,(2k+2)π)(k∈N).(2)由(1)知,f(x)在区间(0,π)上单调递减,又f=0,故x1=,当n∈N*时,因为f(nπ)f((n+1)π)=[(-1)nnπ+1][(-1)n+1(n+1)n+1]<0,且函数f(x)的图象是连续不断的,所以f(x)在区间(nπ,(n+1)π)内至少存在一个零点.又f(x)在区间(nπ,(n+1)π)上是单调的,故nπ
