1/15本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。另外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上，这个对于学生的代数思维是一个良好的训练也是一个不小的挑战。一、常见数字的整除判定方法1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2.一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质知识点拨教学目标5-2数的整除2/15性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4)∣12．性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；模块一、常见数的整除判定特征【例1】已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？【解析】本题为基础题型，利用13的整除判定特征即可知道方格中填1。【巩固】六位数2008能被99整除，是多少？【解析】方法一：200008被99除商2020余28，所以0028能被99整除，商72时，99727128，末两位是28，所以为71；方法二：99911，2008能被99整除，所以各位数字之和为9的倍数，所以方框中数字的和只能为8或17；又根据数被11整除的性质，方框中两数字的差为6或5，可得是71.【巩固】六位数20□□08能被49整除，□□中的数是多少？【解析】详解类似上题，从略。填入05【例2】173□是个四位数字。数学老师说：“我在这个□中先后填人3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？【解析】用1730试除，1730÷9=192⋯⋯2，1730÷1l=157⋯⋯3，1730÷6=288⋯⋯2．所以依次添上例题精讲3/15(9-2=)7、(11-3=)8、(6-2=)4后得到的1737、1738、1734依次能被9、11、6整除．所以，这三种情况下填入口内的数字的和为7+8+4=19．【巩固】某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？【解析】本题可采用整除数字的判定特征进行判断，但是太过繁琐。采用试除法比较方便，若使得7位数能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，只要让七位数是2，3，4，5，6，7，8，9最小公倍数的倍数即可。【2，3，4，5，6，7，8，9】=2520.用1993000试除，1993000÷2520=790⋯⋯2200，余2200可以看成不足2520-2200=320，所以在末三位的方格内填入320即可．【巩固】如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？【解析】因为105375，所以这个六位数同时满足能被3、7、5整除的数的特征即可．方法一：利用整除特征末位只能为0或5．①如果末位填入0，那么数字和为1992□021□，要求数字和是3的倍数，所以□可以为0，3，6，9，验证2001991，23019931，26019961，29019991，有91是7的倍数，即199290是7的倍数，所以题中数字的末两位为90．...
