第十五讲 曲线的凹向与拐点VIP免费

一、曲线的凹向及其判别法二、拐点及其求法三、曲线的渐近线四、函数作图的一般步骤第三节曲线的凹向与拐点定义1若在某区间()a,b内曲线段总位于其上任意一点处切线的上方，则称曲线段在()a,b内是向上凹的（简称上凹，也称凹的）；若曲线段总位于其上任一点处切线的下方，则称该曲线段),(ba内是向下凹的（简称下凹，也称凸的）．从图可以看出曲线段AB是下凹的；曲线段BC是上凹的定理1设函数y=)(xf在开区间()a,b内具有二阶导数(1)若在()a,b内0)(xf,则曲线)(xfy在),(ba内是向上凹的；yOxABCabc一、曲线的凹向及其判别法(2)若在),(ba内0)(xf,则曲线)(xfy在),(ba上是向下凹的.若把定理1中的区间改为无穷区间，结论仍然成立．例1判定曲线xyln的凹向．解函数xyln的定义域为),0(,xy1,21xy,当0x时，0y，故曲线xyln在),0(内是向下凹的．定义2若连续曲线y=)(xf上的点P是曲线向上凹与向下凹的分界点，则称P是曲线)(xfy的拐点．由于拐点是曲线凹向的分界点，所以拐点左右两侧近旁)(xf必然异号．因此，曲线拐点的横坐标0x，只可能是使0)(xf的点或)(xf不存在的点．从而可得求),(ba内连续函数y=)(xf拐点的步骤：(1)先求出)(xf，找出在),(ba内使0)(xf的点和)(xf不存在的点；(2)用上述各点按照从小到大依次将),(ba分成小区间,再在每个小区间上考察)(xf的符号；二、拐点及其求法(3)若)(xf在某点ix两侧近旁异号，则(,())iixfx是曲线y=)(xf的拐点，否则不是．例2曲线3xy的定义域为),(，画其草图．解因为3xy的定义域为),(，且23xy,xy6,令0y，得0x．用0x将),(分成两个小区间：)0,(和),0(.当)0,(x时，0y,曲线3xy下凹．当),0(x时，0y,曲线3xy上凹．所以，点)0,0(为曲线3xy的拐点．yxO11-1-1例3.判断曲线4xy的凹凸性.解:,34xy212xy时，当0x;0y,时0x,0y故曲线4xy在),(上是向上凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线)(xfy,连续在点0x00)(xf或不存在,但)(xf在两侧异号,0x则点))(,(00xfx是曲线)(xfy的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,xyo例4.求曲线3xy的拐点.解:,3231xy3592xyxyy0),(0),(0不存在0因此点(0,0)为曲线3xy的拐点.凹凸xxy24362)(3632xx例5.求曲线14334xxy的凹凸区间及拐点.解:1)求y,121223xxy2)求:拐点可能点坐标令0y得,,03221xx对应3)列表判别271121,1yy)0,(),0(32),(32yxy0320012711故该曲线在)0,(),(32及上向上凹,向下凹,点(0,1)及),(271132均为拐点.上在),0(32凹凹凸32)1,0(),(271132定义3若曲线C上动点P沿着曲线无限地远离原点时，点P与某一固定直线L的距离趋于零，则称直线L为曲线C的渐近线．1．斜渐近线定理2若)(xf满足：(1)kxxfx)(lim;(2)bkxxfx])([lim,则曲线y=)(xf有斜渐近线bkxyyOxCMNPLayOxCMNPLaykxb()yfx三、曲线的渐近线2．铅直渐近线定义4若当Cx时（有时仅当Cx或Cx），)(xf则称直线Cx为曲线)(xfy的铅直渐近线（也叫垂直渐近线）（其中C为常数）．所以当3x和1x时，有y，所以曲线3223xxxy有两条铅直渐近线3x和1x．例)1)(3(32323xxxxxxy，例6.求曲线3223xxxy的渐近线.解:,)1)(3(3xxxy,lim3yx)1(x或所以有铅直渐近线3x及1x又因xxfkx)(lim32lim22xxxx1])([limxxfbx3232lim22xxxxx22xy为曲线的斜渐近线.312xy例当x时，有2e0x,所以0y为曲线2exy的水平渐近线.yOx3．水平渐近线定义5若当x时，Cxf)(则称曲线)(xfy有水平渐近线Cy.二、函数图形的描绘步骤:1.确定函数)(xfy的定义域,期性;2.求,)(,)(xfxf并求出)(xf及)(xf3.列表判别增减及凹凸区间,求...