第二章 线性系统的数学描述VIP免费

AUTOMATICCONTROLAUTOMATICCONTROL自动控制原理2.1数学模型基础控制系统数学模型的概念描述控制系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式，称为系统的数学模型。建立数学模型的目的建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。建立数学模型的方法建立系统的数学模型简称为建模，系统建模有两大类方法，或者说有两种不同的途径：一类是机理分析建模方法，称为分析法；另一类是实验建模方法，通常称为系统辨识。常用数学模型1.外部描述模型——微分方程、传递函数2.内部描述模型——状态空间法3.信号流图模型2.2线性系统的时域数学模型微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。对于单输入、单输出线性定常系统，采用下列微分方程来描述：)()()()()()()()()()(1)2(2)1(1)(01)2(2)1(1)(trbtrbtrbtrbtrbtcatcatcatcatcmmmmmnnnnn式中，r(t)和c(t)分别是系统的输入信号和输出信号；是对时间t的n阶导数；)()(tcn)(tc),,2,1(niai),,2,1(mjbj和是由系统的结构参数决定的系数。一个控制系统由若干具有不同功能的元件组成，首先要根据各个元件的物理规律，列写各个元件的微分方程，得到一个微分方程组，然后消去中间变量，即得控制系统总的输入和输出的微分方程。1、电气系统例1由电阻R、电感L和电容C组成的无源网络，试写出以为输入量，以为输出量的网络微分方程。RLCi(t)ur(t)uc(t))(tur)(tuc)()()()(tutRitudttdiLrcdttictuc)(1)()()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc解设回路电流为，由基尔霍夫电压定律可写出回路方程为)(ti消去中间变量，得系统输入输出关系的微分方程)(ti2、机械系统例2图示为一个含有弹簧、运动部件、阻尼器的机械位移装置。其中是弹簧系数，是运动部件质量，是阻尼系数；外力是系统的输入量，位移是系统的输出量。试确定系统的微分方程。Fy(t)kfmkmfF)(ty解:阻尼器的阻尼力:弹簧弹性力:dttdyftF)()(1)()(2tkytF)()()()(2122tFtFtFdttydm整理得：)()()()(22tFtkydttdyfdttydm注：比较两个例子可以发现，这两个不同的物理系统具有相同形式的运动方程，即具有相同的数学模型。)()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc)()()()(22tFtkydttdyfdttydm例1数学描述：例2数学描述：注：许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电气系统、液压系统和经济系统）有时却可能具有完全相同的数学模型。从这个意义上讲，数学模型表达了这些系统的共性，所以只要研究透了一种数学模型，也就完全了解具有这种数学模型形式的各式各样系统的本质特征。因此数学模型建立以后，研究系统主要是以数学模型为基础，分析并综合系统的各项性能，而不再涉及实际系统的物理性质和具体特点。2.12.1控制系统的微分方程控制系统的微分方程解析法建立微分方程的一般步骤是根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入、输出量；标准化工作:将与输入有关的各项放在等号的右侧，即将与输出有关的各项放在等号的左侧，并按照降幂排列。从输入端开始，按照信号的传递时序及方向，根据各变量所遵循的物理、化学定律，列写出变化（运动）过程中的微分方程组；消去中间变量，得到只包含输入、输出量的微分方程；最后将系数归化为具有一定物理意义的形式。12345控制系统的微分方程是在时间域描述系统动态性能的数学模型，在给定外部作用和初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应。这种方法比较直观。拉普拉斯变换是求解线性微分方程的有力工具，它可以将时域的微分方程转化为复频域中的代数方程，并且可以得到控制系统在复数域中的数学模型——传递函数。2.3传递函数设描述系统的微分方程为：)()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn则其传递函数为)()()()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnnnnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCSG11101110)()()(传递函数：线性定常...