1/52006——2007学年第二学期数学分析试题Ｂ答案（0601，0602，0603）一：填空（20分）1.12.3.1、04.05.''()()xtyt与不同时为06.()xeC7.绝对收敛8.1p9.充要条件10.[,]ab二：判断（16分）三：计算下列各题（15分）22222222222122221arctan1arctan1()(3)21(1)arctan12411(1)arctan1(4)2411arctan1(1)(5)22xxdxxxdxdxxxxdxxxxxxC分分分32dxxx令6xu则原式变为523332366616(1)(3)16(ln|1|)322366ln|1|5dxuduuuduuxxuuuuuuCxxxxC分（分）2/52020220020cos3sincos1cossinsincos(3)2sincos11(sincos)22sincos(ln|sincos|)|(4)44dddd分分(5)分四：解下列各题（28分）1、求幂级数12531253nxxxxn)1,1(x的和函数001lim||1,12121nnnnnaxnn2n+1(-1)解：因且，与都是发散级数该幂级数的收敛区域为(1,1)（4分）矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔。设3521()3521nxxxFxxnLL在收敛区域||1x内逐项微分之，得'2321()11FxxxxL（5分）注意(0)0F，即得2011()ln(||1)121xdtxFxxtx于是当||1x时，有352111ln(||1)352121nxxxxxxnxLL（7分）3/52、计算xtxtxdtedte022022lim解：该极限是型的不定式极限，利用洛必塔法则有2222222222020020lim2lim(3)2lim(5)2lim20(7)xtxxtxxtxxxtxxxxxedtedteedteedteexe分分分112(1)3limsinsinsin1(1)limsin(3)nnninnnnninnL分其中的和式是()sinfxx在区间[0,]上的一个积分和，这里所取的是等分分割，(1),iiixnn为小区间1,(1)[][,]iiiixxnn的左端点，1,2,,inL故有012(1)limsinsinsin1sin(6)nnnnnnxdxL分4/501(cos)|2(7)x分4解：为方便起见。取x轴和y轴如上图，由B，C点的坐标（0，5），（20，3）求出过B，C的直线方程为1510yx（3分）由于在相同深度处水的静压强相同，其值等于水的比重v与深度x到xxV这一狭条AV上所受的静压力为212(5)10PdPyvxdxvxxdxV（6分）从而闸门上所受的总压力为200144002(5)103Pvxxdxv或14373.33（kN）（7分）五：证明（21分）1、1cos01pxdxpx当时条件收敛.(7分)证明：因为对任意1u，有1|sin||coscos1|2uxdxu，而1px当0p时单调趋于0()x，故由狄利克雷判别法知1sin01pxdxpx当总是收敛的.(4分)另一方面,由于2sinsin1cos2||,[1,)22pxxxxxxxx5/5其中12cos21cos22xtdxdtxt满足狄利克雷判别条件,是收敛的,而112dxx是发散的,因此当01p时该无穷积分不是绝对收敛的,所以它是条件收敛的.(7分)2、设级数1nna收敛,证明函数项级数1)(nnxneaxf当0x时一致收敛.(7分)证明:因为'()0nxnxene（0x）单调递减，当0x，01nxee即nxe在0x单调且一致有界，(4分)因为级数1nna收敛，由阿贝尔判别法知1)(nnxneaxf当0x时一致收敛.(7分)3、设0()nnnfxax在xR内收敛,若101nnnaRn也收敛,则100()1RnnnafxdxRn.(7分)证明：因为当xR时，0()nnnfxax收敛，则有10000()((,))1xxnnnnnnaftdxatdtxxRRn(4分)但已知当xR时，101nnnaRn收敛，从而可知，101nnnaxn在xR左连续，于是11000()lim()11RnnnnxRnnaafxdxxRnn(7分)
