椭圆与双曲线常见题型归纳VIP专享VIP免费

椭圆与双曲线常见题型归纳一.“曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解1.向量综合型例1.在直角坐标系中，点到两点的距离之和为4，设点的轨迹为,直线与交于两点。（Ⅰ）写出的方程;（Ⅱ）若，求的值。例1.解:（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为．（Ⅱ）设，其坐标满足消去y并整理得，故．若，即．而，于是，化简得，所以．例2．设、分别是椭圆的左、右焦点.（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围例2．解：（Ⅰ）解法一：易知所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值解法二：易知，所以，设，则（以下同解法一）（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：∴由得：或又∴又 ，即∴故由①、②得或例3．设、分别是椭圆的左、右焦点，．（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;（Ⅱ）若C为椭圆上异于B一点，且，求的值；（Ⅲ）设P是该椭圆上的一个动点，求的周长的最大值.例3．解：（Ⅰ）易知，所以,设,则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值（Ⅱ）设C（），由得，又所以有解得（Ⅲ）因为|P|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|∴周长≤4＋|BF2|＋|B|≤8．所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，周长最大，最大值为8．例4．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。例4．解：（Ⅰ）设双曲线方程为由已知得故双曲线C的方程为（Ⅱ）将由直线l与双曲线交于不同的两点得即①设，则而于是②由①、②得故k的取值范围为例5．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．例5．解析：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0．依题意解得∴椭圆方程为．…………………4分（2）假若存在这样的k值，由得．∴．①设，、，，则②…………………………………………8分而．要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即．…………………………………………10分∴．③将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立．综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E．………………………13分2．“中点弦型”例6.已知椭圆，试确定的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线对称。例6.解：设，的中点，而相减得即，而在椭圆内部，则即例7.已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率，焦距为（I）求该双曲线方程.（II）是否定存在过点，）的直线与该双曲线交于，两点，且点是线段的中点？若存在，请求出直线的方程，若不存在，说明理由.例7.（1）（2）设，直线：，代入方程得（）则，解得，此时方程为，方程没有实数根。所以直线不存在。例8．已知椭圆的中心在原点，焦点为F1，F2（0，），且离心率。（I）求椭圆的方程；（II）直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为，求直线l倾斜角的取值范围。例8．解：（I）设椭圆方程为解得a=3，所以b=1，故所求方程为…………………………4分（II）设直线l的方程为代入椭圆方程整理得…………………………5分由题意得…………………………7分解得又直线l与坐标轴不平行………………………故直线l倾斜角的取值范围是…………………………12分3．“弦长型”例9．直线y＝kx＋b与椭圆交于A、B两点，记△AOB的面积为S．(I)求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；（Ⅱ)当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．例9(I)解：设点A的坐标为(，点B的坐标为，由，解得所以当且仅当时，．S取到最大值1．（Ⅱ）解：由得①yxOAB｜AB｜＝②又因为O到AB的距离所以③③代入②并整理，得解得，，代入①式检验，△...