格林公式曲线积分VIP专享VIP免费

返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页§3格林公式·曲线积分与路线的无关性在计算定积分时,牛顿-莱布尼茨公式反映了区间上的定积分与其端点上的原函数值之间的联系;本节中的格林公式则反映了平面区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线积分之间的联系.一、格林公式二、曲线积分与路线的无关性返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、格林公式设区域D的边界L是由一条或几条光滑曲线所组成.边界曲线的正方向规定为:当人沿边界行走时,区域D总在它的左边,如图21-12所示.与上述规定的方向相反的方向称2112图LD.L为负方向,记为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理21.11若函数(,),(,)PxyQxy在闭区域D上有连续的一阶偏导数,则有ddd,LDQPPxQyxy(1)这里L为区域D的边界曲线,并取正方向.公式(1)称为格林公式.证根据区域D的不同形状,这里对以下三种情形(i)若D既是x型又是y型区域(图21-13),则可表为作出证明:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页12()(),,xyxaxb又可表为12()(),.yxyy1()yx2()yx这里和分CAE分别是曲线和CBE的方程.于是ACBAEB别为曲线和的方1()xy2()xy程,而和则Ox1()xAbEaBC2()xyD图21-13返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页21()()dddyyDQQyxxx21((),)d((),)dQyyyQyyy(,)d(,)dCBECAEQxyyQxyy(,)d(,)dCBEEACQxyyQxyy(,)d.LQxyy同理又可证得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页d(,)d.LDPPxyxy将上述两个结果相加即得ddd.LDQPPxQyxy(ii)若区域D是由一条按段光滑的闭曲线围成,且可用几段光滑曲线将D分成有限个既是x型2114图3L1D2L1L3D2D返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页又是y型的子区域(如图21-14),则可逐块按(i)得到它们的格林公式,然后相加即可.如图21-14所示的区域D,可将它分成三个既是x型又是y型的区域123,,.DDD于是dDQPxy123dddDDDQPQPQPxyxyxy返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页123ddddddLLLPxQyPxQyPxQydd.LPxQy(iii)若区域D由几条闭曲线所围成,如图21-15所示.这把区域化为(ii)的情形来处2115图1LD3L2LCABEFG时可适当添加线段,,ABCE理.在图21-15中添加了,AB后,D的边界则由23,,,,,,ABLBAAFCCELECCE返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页dDQPxy23(dd)ABLBAAFCCELECCGAPxQy231(dd)LLLPxQydd.LPxQy注1并非任何单连通区域都可分解为有限多个既是xy型又是型区域的并集,例如由及构成.由(ii)知CGA返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页31sin,(0,1];1;0;1yxxyxxx所围成的区域便是如此.注2为便于记忆,格林公式(1)也可写成下述形式:ddd.LDxyPQPxQy注3应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算.请看以下二例:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页第一象限部分(图21-16).解对半径为r的四分之一圆域D,应用格林公式:ddLDxyddd.OAABBOxyxyxy由于d0,d0,OABOxyxy因此21ddπ.4ABDxyr例1计算d,ABxy其中曲线是半径为r的圆在ABOx2116图BLADy返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例2计算22dd,LxyyxIxy其中L为任一不包含原点的闭区域的边界线.解因为2222222,()xyxxxyxy2222222,()yyxyxyxy它们在上述区域D上连续且相等,于是返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2222d0,Dxyxyxyxy...