华东师范大学硕士学位论文数字图像中信息缺损区域的填补问题姓名：杨晶晶申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：沈纯理20070501摘要偏微分方程在图像处理中的应用是一个比较新的课题．由于它可以准确地对图像建模，从而很好地解决了图像处理中的许多复杂的问题．如今，偏微分方程已广泛地应用于图像处理的各个方面．本文首先详细介绍了图像恢复中的各类噪声模型，并说明消除这些噪声的影响即为图像恢复；接着指出目前解决这类问题的两类基本的办法：能量法(当然其最后还是要归结为求解PDE的问题)和PDE法；有关能量法，本文就一些细节问题(如正则化，参数A的性质等)进行了讨论；最后重点讨论了运用几何分析中的PDE方法如何对静态数字图像进行填补(恢复)．对于灰度图像，我们将此问题转化为一个PDE方法问题．首先，我们用图像的拉普拉斯：△，=厶。+‰(下标表示导数)来光滑估计图像，用等照度线的方向：Ⅳ=Vp作为图像信息传播的方向，再运用差分，可得到填补方程；为得到更好的结果，在进行填补之前，我们需要对初始图像进行一次扩散．同时，由于我们的填补是使得到达被填补区域边界的等照度线在该区域内部得到光滑“延长”，为避免在区域内部出现交叉的情况，我们在进行了若干次填补后也需要进行若干次的各向异性的扩散，如此再填补，之后再扩散，直到算法稳定．即扩散(～次)一+填补(若干次)～+扩散(若干次)一+填补(若干次)一+扩散(若干次)一+⋯．需要特别指出的是，相对于之前的一些算法，我们的算法不需要使用者指出新的信息来自哪里，对被填补区域的拓扑也不需要作任何限制，而且可以同时填补几个完全不同结构．不同背景的区域，并且速度比较快、效果好．这个算法可以应用于旧照片、老电影的回复；日期、邮戳等文本的移除：也可以将整个物体移除．针对彩色RGB图像，我们可以将其转化为三个灰度图像，再分别运用上述方法填补后再合成即可．关键词：偏微分方程，各向异性扩散，图像填充，等照度线方向，光滑估计．AbstractTheuseofPDEinimageprocessingisanew∞e翻x咄topic．ItsmathematicalmodelcarlrepresentimageaccuratelyandcaLrlsolvemanycomplicatedproblems．Now，PDEshavebeenwidelyusedinmanyaspectsofimageprocessing．Inthisthesiswegivesomeprecise础ormationaboutwhatwemeanbydegra-dationornoise．Thisisactuallyadifficultquestion，andwefocusonasimplemodelwithadditivenoiseandconvolutionbyalinearoperatorfortheblur．First，wepresentrestorationthroughtheminimizationofafunctionalinvolvingtwoterms：afidelitytermtothedataplusaregulaxizationterm．Wediscusssofnequalitativepropertiesoftherestoredimage；Then，aPDE-Basedmodelisproposed．Wedevelopthemodelanditsmathematicaljustificationindetail．Forgraylevelimage，wetransformthisproblemtoavariationalproblen=LWeuseasimplediscreteimplementationoftheLaplacian：AI=‰+‰tobeanim-agesmoothnessestimator．andusetheisophotesdirectionstobethepropagationdi-rection：N=VI上，thatis，weestimateavariationofthesmoothness，givenbyade-scretizationof2DLaplacian，andprojectthisvariationintotheisophotesdirection．Thisprojectionisusedtoupdatethevalueoftheimageinsidetheregiontobeinpainted．thenwegettheinpaintingequation．Toensureacorrectevolutionofthedirectionfield，adiffusionprocessisinterleavedwiththeimageinpainimgprocessdescribedabove．Thatis，everyfewsteps，weapplyafewiterationsofimagediffusion．Thisdiffusioncorrespondstotheperiodicalcurvingoflinestoavoidthemfromcrossingeachother．Weuseanisotropicdiffusion，inordertoachievethisgoalwithoutlosingsharpnessinthereconstruction，thenwegettheanisotropicdiffusionequation．Incontractwithpreviousapproaches，thistechniquedoesnotrequiretheuBertospecifywherethenovelinformationcomesfrom．Thisisautomaticallydone(andinafastway)，therebyallowingtosimultaneouslyfill-innume...
