第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理第1课时归纳推理1．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33为()．A．3B．－3C．6D．－6解析a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，…，故{an}是以6个项为周期循环出现的数列，a33＝a3＝3.答案A2．已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f′3(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，则f2007(x)等于()．A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx解析由已知，有f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…可以归纳出：f4n(x)＝sinx，f4n＋1(x)＝cosx，f4n＋2(x)＝－sinx，f4n＋3(x)＝－cosx(n∈N＋)，∴f2007(x)＝f3(x)＝－cosx.答案D3．如果数列{an}的前n项和Sn＝an－3，那这个数列的通项公式是()．A．an＝2(n2＋n＋1)B．an＝3·2nC．an＝3n＋1D．an＝2·3n解析当n＝1时，a1＝a1－3，∴a1＝6，由Sn＝an－3，当n≥2时，Sn－1＝an－1－3，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，∴an＝3an－1.∴a1＝6，a2＝3×6，a3＝32×6.猜想：an＝6·3n－1＝2·3n.答案D4．设f(x)＝，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2)，则x2，x3，x4分别为________．猜想xn＝________.1解析x2＝f(x1)＝＝，x3＝f(x2)＝＝x4＝f(x3)＝＝，∴xn＝.答案，，5．观察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为________．解析由已知四个式子可分析规律：(n＋2)2－n2＝4n＋4.答案(n＋2)2－n2＝4n＋46．对于函数f(x)＝，设f2(x)＝f[f(x)]，f3(x)＝f[f2(x)]，…，fn＋1(x)＝f[fn(x)](n∈N*，且n≥2)，(1)写出f2(x)，f3(x)，f4(x)，f5(x)的表达式；(2)根据(1)的结论，请你猜想并写出f4n－1(x)的表达式．解(1)∵f(x)＝1－∴f2(x)＝1－＝1－＝－，f3(x)＝，f4(x)＝x，f5(x)＝f(x)…，故fn(x)是以4为周期．(2)f4n－1(x)＝f3(x)＝.7．设0<θ<，已知a1＝2cosθ，an＋1＝，猜想an＝()．A．2cosB．2cosC．2cosD．2sin解析法一∵a1＝2cosθ，a2＝＝2＝2cos，a3＝＝2＝2cos，…，猜想an＝2cos.法二验n＝1时，排除A、C、D，故选B.答案B8．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于()．1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111……A．1111110B．1111111C．1111112D．1111113解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1111111.答案B9．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三2角形(如图)试求第七个三角形数是________．解析观察知第n个三角形数为1＋2＋3＋…＋n＝，∴当n＝7时，＝28.答案2810．(2010·浙江)在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，第1列第2列第3列…第1行第2行第3行…123…246…369……………那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．解析由题中数表知：第n行中的项分别为n,2n,3n，…，组成一等差数列，所以第n行第n＋1列的数是：n2＋n.答案n2＋n11．若数列{an}的通项公式an＝，记f(n)＝(1－a1)·(1－a2)…(1－an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)的值．解f(1)＝1－a1＝1－＝，f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)·＝·＝＝，f(3)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝f(2)·＝·＝.由此猜想：f(n)＝.12．(创新拓展)观察下表：12,34,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15，……问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2010是第几行的第几个数？解(1)∵第n＋1行的第一个数是2n，∴第n行的最后一个数是2n－1.(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)＝＝3×22n－3－2n－2为所求．(3)∵210＝1024,211＝2048,1024＜2010＜2048，∴2010在第11行，该行第1个数是210＝1024.由2010－1024＋1＝987，知2010是第11行的第987个数．3
