高二数学：7.2《等差数列前n项和4》教案 沪教版VIP专享VIP免费

●课题等差数列的前n项和（二）●教学目标（一）教学知识点等差数列的前n项和公式Sn=2)(1naan=na1+2)1(nnd.（二）能力训练要求1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.（三）德育渗透目标提高学生的应用意识.●教学重点熟练掌握等差数列的求和公式.●教学难点灵活应用求和公式解决问题.●教学方法讲练结合法结合具体例子讲解分析问题，解决问题的方法，从而提高学生分析问题，解决问题的能力.●教具准备投影片两张第一张：［例1］求集合M=｛m｜m=7n,n∈N*,且m＜100｝的元素个数，并求这些元素的和.［例2］已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗?第二张：［例3］已知数列｛an｝是等差数列，Sn是其前n项和.求证：S6,S12－S6,S18－S12成等差数列，设其k∈N*,Sk,S2k－Sk,S3k－S2k成等差数列吗?●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］请同学们回顾一下等差数列的通项公式及前n项和公式.［生］通项公式：an=a1+（n－1）d,求和公式：Sn=2)(1naan=na1+2)1(nndⅡ.讲授新课（打出投影片下面结合这些例子，来看如何应用上述知识解决一些相关问题.［例1］分析：满足条件的n的取值个数即为集合M的元素个数，这些元素若按从小到大排列，则是一等差数列.解：由m＜100,得7n＜100,即n＜72147100所以满足上面不等式的正整数n共有14个，即集合M中的元素共有14个，将它们从小到大可列出，得：7，7×2，7×3，7×4，…7×14，即：7，14，21，28，…98这个数列是等差数列，记为｛an｝,其中a1=7,a14=98，n=14则S14=2)987(14=735答：集合M中共有14个元素，它们和等于735.这一例题表明，在小于100的正整数中共有14个数是7的倍数，它们的和是735.［例2］分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得到两个关于a1与d的关系，然后确定a1与d，从而得到所求前n项和的公式.解：由题意知S10=310,S20=1220,将它们代入公式Sn=na1+2)1(nnd，得到122019020310451011dada解这个关于a1与d的方程组，得到a1=4，d=6所以Sn=4n+2)1(nn×6=3n2+n这就是说，已知S10与S20，可以确定这个数列的前n项和的公式，这个公式是Sn=3n2+n.下面，同学们再来思考这样一个问题：（打出投影片§3.3.2B）［生］仔细分析题意，解决问题.解：设{an}的首项是a1,公差为d，则S3=a1+a2+a3S6－S3=a4+a5+a6=（a1+3d）+（a2+3d）+（a3+3d）=（a1+a2+a3）+9d=S3+9dS9－S6=a7+a8+a9=（a4+3d）+（a5+3d）+（a6+3d）=（a4+a5+a6）+9d=（S6－S3）+9d∴S3,S6－S3,S9－S6成等差数列.同理可得Sk,S2k－Sk,S3k－S2k成等差数列.［Sk=a1+a2+…+ak（S2k－Sk）=ak+1+ak+2+…+a2k=（a1+kd）+（a2+kd）+…+（ak+kd）=（a1+a2+…+ak）+k2d=Sk+k2d（S3k－S2k）=a2k+1+a2k+2+…+a3k=（ak+1+kd）+（ak+2+kd）+…+（a2k+kd）=（ak+1+ak+2+…+a2k）+k2d=（S2k－Sk）+k2d∴Sk,S2k－Sk,S3k－S2k是以Sk为首项，k2d为公差的等差数列.］Ⅲ.课堂练习［生］（板演）课本4.求集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的元素个数，并求这些元素的和.解：由2n－1＜60,得n＜261,又 n∈N*∴满足不等式n＜261的正整数一共有30个.即：集合M中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59，组成一个以a1=1,a30=59,n=30的等差数列. Sn=2)(1naan,∴S30=2)591(30=900.答案：集合M中一共有30个元素，其和为900.评述：要注意看清所有的条件.5.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2？这些数的和是多少？分析：满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N*}解：分析题意可得满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N*}由3n+2＜100,得n＜3232,且m∈N*,∴n可取0，1，2，3，…，32.即：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8，…，98.它们可组成一个以a1=2,d=3,a33=98,n=33的等差数列.由Sn=2)(1naan,得S33=2)982(33=1650.答案：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650.6.一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.分析：...