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高二数学无穷等比数列各项和 教案VIP免费

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课题:无穷等比数列各项的和(1)上海市朱家角中学朱城教学目标:1.理解无穷等比数列各项和的概念,能够熟练地应用无穷等比数列各项和的公式2.经历公式的推导过程,体验从特殊到一般的研究方法,感悟用有限来刻画无限的数学思想;3.通过等比数列各项和的公式的应用,提高数学的应用意识,并逐步养成科学严谨的学习态度,提高学习能力。教学重点:1.等比数列各项和的定义及公式的推导;2.等比数列各项和在一些实际问题中的应用。教学难点:正确理解无穷等比数列各项和的定义。教学过程:一、引入课题《庄周•天下篇》的一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”(1)若记第天取得的木棒长为,求数列的通项公式;(2)取得的所有木棒长的和是多少?二、概念形成问题一:等于多少?师:这里所有取得的木棒长的和应该怎样表示?生:师:共有多少项求和?生:无穷多项。师:我们怎样把它们"加"起来?生:一个一个地"加"起来。师:可能吗?因为有无穷多项,我们永远"加"不完。因此在传统的算术加法中我们无法解决。师:好,这就是今天我们要研究的内容——无穷等比数列各项的和。(板书)师:我们先回顾一下与这个问题有关的我们已知什么?用心爱心专心生:我们已知的是数列的前项的和师:下面我们就探讨与“各项和”的关系?生:先求出这个数列的前n项和Sn,然后让n趋于"无限",求出Sn的极限。教师板书:因此:问题二:一般的无穷等比数列:其前项和的极限是否一定存在?若存在,极限是什么?1),,的极限不存在;2),当,的极限不存在;当,的极限不存在;当时:,所以:,即前项和的极限存在且等于.定义:我们把的无穷等比数列前n项的和当时的极限叫做无穷等比用心爱心专心数列各项的和,并用S表示,即()三、举例应用例1.等边三角形的面积等于1,联结这个三角形各边的中点得到一个小的三角形,又联结三角形各边的中点得到一个更小的三角形,这样的过程无限继续下去,求所有三角形的面积和。解:设,其边长为,所有三角形所组成的数列是以1为首项,为公比的无穷等比数列.所以,所有三角形的面积。例2.正方形ABCD的边长为1,连接这个正方形各边的中点得到一个小的正方形;又连接这个小正方形各边的中点得到一个更小的正方形;如此无限继续下去,求所有这些正方形的面积的和.解:设第个正方形的面积为,由条件:由题设,可得到:进而:用心爱心专心,所以,所有正方形的面积组成的数列是首项为1,公比为的无穷等比数列,故所有正方形的面积之和为:.例3.在直角坐标系中,蚂蚁由原点出发沿x轴向右前进1个单位到P1,接着向上前进个单位到点P2,再向左前进个单位到点P3,又向下前进个单位到点P4,以后的前进方向按向右、向上、向左、向下的顺序,每次前进的距离为上一次前进距离的一半。这样无限下去,那么蚂蚁爬行的极限位置将在何处?分析:引导学生将蚂蚁的运动分成水平方向的位移和垂直方向上的位移,让学生明确只需分别确定两个方向上位移的极限位置,即可得到蚂蚁运动的极限位置为解:设蚂蚁爬行的极限位置的坐标为P,由题意我们可分为两方面研究:(1)极限位置P的横坐标即为蚂蚁在水平方向移动的位移所构成数列的各项各项和。它是一个首项为1,公比为的无穷等比数列的各项和.用心爱心专心P1P5P4P3P2xy0所以,(2)极限位置P的纵坐标即为蚂蚁在竖直方向移动的位移所构成数列的各项各项和。它是一个首项为,公比为的无穷等比数列的各项和.所以,综上,蚂蚁爬行的极限位置为四、师生小结今天我们共同探究,得出了那些结论?对于这些结论,我们需要注意些什么回顾今天的学习过程,你有哪些收获?引导学生体会:1.无穷等比数列的各项和公式:S=();2.如何将某些实际问题转化为一个无穷等比数列的各项和;3.体会用有限刻画无限的数学思想,体会从特殊到一般的研究方法。五、作业布置课本47页练习7.8(1)用心爱心专心

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