课题:无穷等比数列各项的和（1）上海市朱家角中学朱城教学目标：1.理解无穷等比数列各项和的概念，能够熟练地应用无穷等比数列各项和的公式2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，感悟用有限来刻画无限的数学思想；3.通过等比数列各项和的公式的应用，提高数学的应用意识，并逐步养成科学严谨的学习态度，提高学习能力。教学重点:1.等比数列各项和的定义及公式的推导；2.等比数列各项和在一些实际问题中的应用。教学难点:正确理解无穷等比数列各项和的定义。教学过程:一、引入课题《庄周•天下篇》的一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”(1)若记第天取得的木棒长为，求数列的通项公式；(2)取得的所有木棒长的和是多少？二、概念形成问题一：等于多少？师：这里所有取得的木棒长的和应该怎样表示？生：师：共有多少项求和？生：无穷多项。师：我们怎样把它们"加"起来？生：一个一个地"加"起来。师：可能吗？因为有无穷多项，我们永远"加"不完。因此在传统的算术加法中我们无法解决。师：好，这就是今天我们要研究的内容——无穷等比数列各项的和。（板书）师：我们先回顾一下与这个问题有关的我们已知什么？用心爱心专心生：我们已知的是数列的前项的和师：下面我们就探讨与“各项和”的关系？生：先求出这个数列的前n项和Sn，然后让n趋于"无限"，求出Sn的极限。教师板书：因此：问题二：一般的无穷等比数列：其前项和的极限是否一定存在？若存在，极限是什么？1)，，的极限不存在；2)，当，的极限不存在；当，的极限不存在；当时：，所以：，即前项和的极限存在且等于.定义：我们把的无穷等比数列前n项的和当时的极限叫做无穷等比用心爱心专心数列各项的和，并用S表示，即()三、举例应用例1．等边三角形的面积等于1，联结这个三角形各边的中点得到一个小的三角形，又联结三角形各边的中点得到一个更小的三角形，这样的过程无限继续下去,求所有三角形的面积和。解：设，其边长为，所有三角形所组成的数列是以1为首项，为公比的无穷等比数列.所以，所有三角形的面积。例2．正方形ABCD的边长为1，连接这个正方形各边的中点得到一个小的正方形；又连接这个小正方形各边的中点得到一个更小的正方形；如此无限继续下去，求所有这些正方形的面积的和.解：设第个正方形的面积为，由条件：由题设，可得到：进而：用心爱心专心，所以，所有正方形的面积组成的数列是首项为1，公比为的无穷等比数列，故所有正方形的面积之和为：.例3.在直角坐标系中，蚂蚁由原点出发沿x轴向右前进1个单位到P1，接着向上前进个单位到点P2，再向左前进个单位到点P3，又向下前进个单位到点P4，以后的前进方向按向右、向上、向左、向下的顺序，每次前进的距离为上一次前进距离的一半。这样无限下去，那么蚂蚁爬行的极限位置将在何处？分析：引导学生将蚂蚁的运动分成水平方向的位移和垂直方向上的位移，让学生明确只需分别确定两个方向上位移的极限位置，即可得到蚂蚁运动的极限位置为解：设蚂蚁爬行的极限位置的坐标为P,由题意我们可分为两方面研究：(1)极限位置P的横坐标即为蚂蚁在水平方向移动的位移所构成数列的各项各项和。它是一个首项为1，公比为的无穷等比数列的各项和.用心爱心专心P1P5P4P3P2xy0所以，(2)极限位置P的纵坐标即为蚂蚁在竖直方向移动的位移所构成数列的各项各项和。它是一个首项为，公比为的无穷等比数列的各项和.所以，综上，蚂蚁爬行的极限位置为四、师生小结今天我们共同探究，得出了那些结论？对于这些结论，我们需要注意些什么回顾今天的学习过程，你有哪些收获？引导学生体会：1.无穷等比数列的各项和公式：S=()；2．如何将某些实际问题转化为一个无穷等比数列的各项和；3.体会用有限刻画无限的数学思想，体会从特殊到一般的研究方法。五、作业布置课本47页练习7.8（1）用心爱心专心
