高二数学新人教版A必修5 3.4《基本不等式》（3课时）VIP专享VIP免费

课题:§3.4基本不等式2ababwww.jkzyw.com第1课时www.jkzyw.com授课类型：新授课www.jkzyw.com【教学目标】www.jkzyw.com1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；www.jkzyw.com2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；www.jkzyw.com3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣www.jkzyw.com【教学重点】www.jkzyw.com应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2abab的证明过程；www.jkzyw.com【教学难点】基本不等式2abab等号成立条件www.jkzyw.com【教学过程】1.课题导入www.jkzyw.comwww.jkzyw.com基本不等式2abab的几何背景：www.jkzyw.com如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？www.jkzyw.com教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系www.jkzyw.com2.讲授新课1．探究图形中的不等关系www.jkzyw.com将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的用心爱心专心两条直角边长为a,b那么正方形的边长为22ab。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为22ab。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222abab。www.jkzyw.com当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有222abab。www.jkzyw.com2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么baabbabawww.jkzyw.comwww.jkzyw.comwww.jkzyw.com3．思考证明：你能给出它的证明吗？www.jkzyw.com证明：因为222)(2baabbawww.jkzyw.com当22,()0,,()0,abababab时当时www.jkzyw.com所以，0)(2ba，即.2)(22abbawww.jkzyw.com4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2ababwww.jkzyw.com特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b，可得2abab，www.jkzyw.com通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2ababwww.jkzyw.com2）从不等式的性质推导基本不等式2ababwww.jkzyw.com用分析法证明：www.jkzyw.com要证2abab(1)www.jkzyw.com只要证a+b(2)www.jkzyw.com用心爱心专心要证（2），只要证a+b-0（3）www.jkzyw.com要证（3），只要证（-）2（4）www.jkzyw.com显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。www.jkzyw.com3）理解基本不等式2abab的几何意义www.jkzyw.com探究：课本第110页的“探究”www.jkzyw.comwww.jkzyw.com在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式2abab的几何解释吗？www.jkzyw.comwww.jkzyw.com易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣBwww.jkzyw.com即ＣD＝ab.www.jkzyw.com这个圆的半径为2ba，显然，它大于或等于CD，即abba2，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.www.jkzyw.com因此：基本不等式2abab几何意义是“半径不小于半弦”www.jkzyw.com评述：1.如果把2ba看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.www.jkzyw.com2.在数学中，我们称2ba为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.www.jkzyw.com[补充例题]www.jkzyw.com例1已知x、y都是正数，求证：www.jkzyw.com(1)yxxy≥2；www.jkzyw.com(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.www.jkzyw.com用心爱心专心分析：在运用定理：abba2时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.www.jkzyw.com解： x，y都是正数∴yx＞0，xy＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0www.jkzyw.com(1)xyyxxyyx2＝2即xyyx≥2.www.jkzyw...