高二数学同步辅导教材（第25讲）一、本讲进度第九章直线、平面、简单几何体9．2空间的平行直线和异面直线二、主要内容1、空间两条直线的位置关系；2、公理4及等角定理；3、异面直线位置关系的判断，求两条异面直线所成的角。三、学习指导1、在数学中，常常需要对研究对象进行分类讨论。分类时必须使每一对象都属于某一类，且仅属于这一类，既不重复又不遗漏。其中，“二分法”是一种重要的分类方法。所谓“二分法”就是把所研究的对象分成互不相容的两类，每个对象都属于其中一类且仅属于这一类。在运用二分法时，首先要确定一个分类标准，不同的分类标准可以得出不同的分类方法。如按“是否共面”的标准，空间直线；按“是否有公共点”的标准，空间直线。熟悉“二分法”，不仅可以深刻理解所研究的对象之间的关系，而且也是应用反证法的基础。反证法是中学数学的重要方法，同学们在高一数学中已经接触过。在立体几何证明中，它是重要的常用的方法之一。2、异面直线是相对于共面直线而言的，从集合的角度看，是共面直线构成的集合的补集，因此，异面直线的特征是既不相交也不平行。其本质属性是这两条直线不可能共面于任何一个平面。或者说，你不管怎样找，总不可能找到一个平面同时经过这两条直线，注意：画在两个平面内的直线不一定是异面直线。如下图：a∥ba∩b=P异面直线的判断方法：（1）反证法；（2）判定定理：若aα，A∈α，Bα，Aα，则AB和a是异面直线，或写成：aα，b∩α=A，Aa，则a，b是异面直线。3、为了精确地描述两条异面直线不平行的特征，引进了异面直线所成角的概念。异面直线所成角的定义是建立在等角定理基础上的，求异面直线所成角的大小，主要是利用定义法，具体的途径有：①中位线法，②补形法。异面直线所成角的定义体现了立体向平面转化的思想。求异面直线所成的角一般分四步：（1）作图；（2）证明；（3）计算；（4）结论。这也是立体几何计算一般都要经历的四个步骤。异面直线所成角的范围是（0，]。4、根据等角定理可知，若a∥b，a与c所成角为θ，则b与c所成角为θ。特例：a∥b，a⊥cb⊥c，形式与平面几何有类似的地方，但图形完全不同。四、典型例题例1、如图，已知a，b，c不共面，它们相交于点P，A∈a，D∈a，B∈b，C∈c，求证BD和AC是异面直线。分析：法一：直接利用判定定理 AC平面PAC，D∈平面PAC，DAC，B平面PAC用心爱心专心1∴AC与BD是异面直线法二：用反证法假设AC与BD共面于β A、D、C三点不共线①∴β与平面ACD重合∴aβ∴P∈β P、B、C三点不共线∴β与平面PBC重合②由①②知平面PAC与平面PBC重合∴a，b，c共面，与已知矛盾∴AC与BD异面说明：在法一中，选平面PAC为基本面，也可以选平面PBD为基本面，总之，要习惯把直线放在平面内。例2、空间四边形PABC，连对角线AC、PB，D、E分别是△PAB和△PBC的重心，求证：DEAC。分析：养成用轨迹的思想看待图形的习惯，即把点放在线上，把线放在面内。如把点D放在AB边的中线AM上，再把PM、DE放在平面PEM内，延长PE交BC于N，连MN，则N为BC中点，平面PEM即为平面PMN。△PMN中 ∴DEMN△ABC中 MNAC∴DEAC例3、空间四边形DABC中，P、Q为边CD上两个不同的点，M、N为AB上两个不同的点，连PM、QN，如图，问图中共有多少对异面直线？分析：为使计算异面直线条数的过程中不出现重、漏的现象，可采用逐步添加的方法。首先考虑空间四边形DABC的四条边DA、AB、BC、CD连同对角线AC、BD，这六条线段可形成三对异面直线DA与BC，AB与CD，AC与BD。其次添加线段PM，则除去与PM相交的CD、AB，又可新形成4对异面直线，即PM与DA、BC、AC、BD。因QN与PM位置等同，当添上QN时，也同样新增4对异面直线。最后注意到，PM与QN也是异面直线。∴图中共有3+4+4+1=12（对）异面直线评注：对于复杂图形，通常用分解等手段转化为基本图形。同时学会从运动的角度观察图形，如本题的逐步添加法。例4、长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，AA1=c，求异面直线BD1和B1C所成角的余弦值。分析：显然，通过平移在长方体的表面及内部不可能构造出一个BD1和B1C所成的角，但同用心爱心专心2时又为了使构造出的角便于计算，故可考虑补上一个...
