高二数学 直线 平面 简单几何 二面角 平面图形的“翻折”问题同步教案 新人教A版VIP专享VIP免费

高二数学（第24讲）【教学内容、目标】第九章直线平面简单几何1、二面角的概念及大小的计算2、平面图形的“翻折”问题【知识重点与难点】1、掌握作二面角大1小的常用方法关键是直接作出或找出二面角的平面角，经证明后再进行计算。一般有以下三种方法：①定义法当点A在二面角α--β的棱上时，可过A分别在α、β内作棱的垂线AB、AC，由定义可知∠BAC即为二面角α--β的平面角。②三垂线法当点A在二面角α--β的一个面α内时，可作AO⊥β于O，再作OB⊥于B，连结AB，由三垂线定理可得AB⊥，故∠ABO即为二面角α--β的平面角。③垂面法当点A在二面角α--β内时，可作AB⊥α于B，AC⊥β于C，设1过AB、AC的平面与交于点O，连结OB、OC，可证平面ABOC是的垂面，则⊥OB，⊥OC，∠BOC即为二面角α--β的平面角。2、解平面图形的“翻折”问题时，通常同时画出折前的平面图形和折后的空间图形，进行对照分析。凡在折后的图形中添加的辅助线，都应在折前的平面图形中相应画出，这样，容易对有关线段、角的数量关系及位置关系作出正确判断。【典型例题】例1：过60°的二面角α-MN-β的棱上一点O，分别在α、β内引两条射线OP、OQ，使用心爱心专心1∠PON和∠QON都是45°角，求∠POQ的余弦值。分析：关键作出二面角α-MN-β的平面角。为给已知的两个45°的角及所求的∠POQ构造三角形，用定义法在MN上取一点A，作出二面角的平面角。解：在MN上取一点A，过A分别在α、β内作MN的垂线，与OP、OQ分别交于点P、Q，连结PQ，则∠PAQ即为二面角α-MN-β的平面角，∠PAQ=60°。设OA=a，则Rt△PAO中，PA=OA=a，PO=a同理：Rt△QAO中，QA=OA=a， △PAQ中，PA=QA=a，∠PAQ=60°∴PQ=a△POQ中，cos∠POQ=∴∠POQ的余弦值为11例2：P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，且MN⊥平面PCD，求二面角P-CD-B的大小。分析：关键求二面角的平面角，先在图中现有的角中找，发现AD⊥DC，若能证明PD⊥DC，则∠PDA即为所求。解： PA⊥平面ABCD，AD⊥DC∴由三垂线定理得：PD⊥DC∴∠PDA即为二面角P-CD-B的平面角。连结PM、CM MN⊥平面PCD，PC平面PCD∴MN⊥PC又N是PC中点∴PM=CM由Rt△PMA≌Rt△CMB∴PA=BC又BC=AD1∴PA=AD∴Rt△PAD中，∠PDA=45°∴二面角P-CD-B的大小为45°。点评：在找二面角的平面角时，若有线面垂直的条件，则应想到三垂线定理或其逆定理。找到后，一般在平面角所在三角形中利用三角函数或平几知识进行计算。例3：在120°的二面角α--β内有一点P，PA⊥α于A，PB⊥β于B，PA=2，PB=3，求①AB的长；②P到棱上的距离。用心爱心专心2分析：先作出表示120°的二面角的平面角。解：①设平面PAB交棱于C。连结AC、BC PA⊥α，α∴⊥平面PAB又 AC平面PAB，11BC平面PAB∴⊥AC，⊥BC∠BCA即为二面角α--β的平面角，∠BCA=120°平面四边形PACB中，∠PAC=∠PBC=90°∴∠ACB+∠P=180°∴∠P=60° △PAB中，AB2=PA2+PB2-2PA·PBcos∠P=4+9-12∴AB=②连结PC ①中已证⊥平面PAB，PC平面PAB∴⊥PC，PC即为P到的距离 P、A、C、B四点共圆，PC为直径∴由正弦定理，PC∴AB的长为，P到的距离为例4：①长方体ABCD-A1B1C1D1，设二面角A-B1C1-A1大小为θ，求证：证明： B1C1⊥平面AB1，平面AB1平面AB1∴B1C1⊥AB1又 A1B1⊥B1C1∴AB1A1即为二面角的平面角∠AB1A1=θ11 S△A1B1C1=S△AB1C1=∴点评：题中，△A1B1C1为△AB1C1在底面的射影，此题的结论可以推广：设平面α内的一个封闭几用心爱心专心3何图形面积为S，此几何图形在β内的射影面积为S’，二面角α--β的大小为θ，可以证明，由于运用了射影，因此该方法也称为射影法。②若正方体ABCD-A1B1C1D1，E为棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。分析：题中△AB1E在1底面的射影为△AB1C1，因此由公式可得。但是由于对使用此公式的合法性有争议，因此我们在大题目的书写过程中要谨慎使用。在这里我们还是作出二面角的棱，并利用三垂法定理作出平面角。解：连结AE并延长交A1C1的延长线于F，作直线B1F，在底面A1B1C1D1内作C1H⊥B1F于H，A1G⊥B1F于G，连结EH、AG EC1⊥...