7.8（1）无穷等比数列的各项和（1）一、教学内容分析本小节的重点是无穷等比数列的各项和公式及简单应用．教材在前面已经介绍了等比数列的前n项和与极限的概念，利用极限不难将“等比数列的有限求和”转化为“等比数列的无限项求和”．教材这样处理，既符合学生的认知规律，又让学生深刻体会从有限认识无限、从已知认识未知、从近似认识精确的极限思想，能充分调动学生的求知欲望，开扩学生思路，激发学习数学的兴趣本小节的难点是正确理解无穷等比数列的各项和的定义．突破难点的关键是创设问题情景，利用对问题的分析，得出定义，推导出无穷等比数列的的各项和的公式，激发学生学习知识的兴趣，引导学生进行思维创新，在不断探索中发现问题、解决问题．二、教学目标设计1．理解无穷等比数列的各项和的定义；2．掌握无穷等比数列的各项和的公式，会应用公式求无穷等比数列的各项和；3．理解无限个数的和与有限个数的和在意义上的区别；4．通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一些简单的实际问题过程中，形成和提高数学的应用意识.三、教学重点及难点教学重点：无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用.教学难点：正确理解无穷等比数列的各项和的定义.四、教学用具准备实物投影仪五、教学流程设计用心爱心专心1六、教学过程设计一、复习引入思考下列问题：1、和1哪个数大？为什么？2、由于空气的阻力，因此某一类钟的钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%.假设其第一次摆动弧的长度为40cm，求它在停止前所有摆动的弧的长度和.对于问题1，先让学生进行讨论，然后展示他们的结果.引导学生回答以下问题：（1）如果你认为，那么比1小多少？（2）如果你认为，那么你能否找到一个实数a，使得成立？换一个角度来看，事实上而是首项为，公比为的无穷等比数列，它的前n项和为用心爱心专心课堂小结并布置作业2无穷等比数列的各项和的定义实例引入无穷等比数列无穷等比数列的各项和公式的推导公式的运用与深化(例题解析、巩固练习).于是可以把看作当时的极限，从而.对于问题2，同样进行分析.对比以上两个问题，它们有何共同特征？二、讲授新课1、无穷等比数列的各项和的公式的推导提问：在问题1的讨论中，我们将看成首项为、公比为的无穷等比数列的前n项和的极限.请同学们思考，是否无穷等比数列的前n项和的极限都存在？如果它的极限存在，那么极限等于什么？指出：当无穷等比数列的公比满足时，其前n项和的极限才存在.当时，无穷等比数列前项和的极限如下： （）∴. ，∴.∴．用心爱心专心3让学生尝试从上述推导过程中归纳出无穷等比数列的各项和的公式．强调：只有当无穷等比数列的公比满足时，其前n项和的极限才存在．2、无穷等比数列的各项和的定义提问：通过刚才的讨论，你能否给无穷等比数列各项和下一个定义？请用数学语言来描述一下．我们把的无穷等比数列的前项的和当时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号表示.（）强调：只有当无穷等比数列的公比满足时，其前n项和的极限才存在．3、无穷等比数列各项和的应用例1化下列循环小数为分数：（1）；（2）.分析：设法将循环小数化成等比数列的前n项和，然后求极限.解：（1）等式右边是首项为，公比是的无穷等比数列的各项的和，所以.（2），等式右边是加上一个首项为，公比是的无穷等比数列的各项的和，所以.师生共同总结得出：循环小数化为分数的法则：1．纯循环小数化分数：将一个循环节的数作分子，分母是99……9，其中9的个数是循环节数字的个数．用心爱心专心42．混循环小数化分数：将一个循环节连同不循环部分的数减去不循环部分所得的差作分子，分母是99…900…0，其中9的个数与一个循环节的个数相同，0的个数和不循环部分的数字个数相同．练习：例2（补充）求下列循环小数的和．分析：把每一个循环小数化为分数，然后再求和．解：同例1可求得，，，，…∴原式=上式表示首项为，公比为的无穷等比数列的各项和．∴原式=．练习：求下列循环小数的和：．答案：例3如图，正方形ABCD的边长为1，联结这个正方形各边的中点得到一个小正方形A1B1C1D1；又联结这个小正方形各边的中点得到一个更小正方形A2...
