4.1.1圆的标准方程【教学目标】（一）知识与技能(1)掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程．(2)会用待定系数法求圆的标准方程．（二）过程与方法进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力．（三）情感态度与价值观通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣．【教学重点】圆的标准方程．【教学难点】会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程．【教学方法】启发、引导、讨论．【教学过程】一、新课引入在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么?圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆?在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢?如果能，这个方程又有什么特征呢?二、讲授新课确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为(,)Aab，半径为r（其中a、b、r都是常数，0r）．设(,)Mxy为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）{}PMMAr,由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件22()()xaybr①用心爱心专心化简可得：222()()xaybr②引导学生自己证明222()()xaybr为圆的方程，得出结论．若点(,)Mxy在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标适用方程②，说明点M与圆心A的距离为r，即点M在圆心为A的圆上．所以方程②就是圆心为(,)Aab,半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程．三、例题解析例1：写出圆心为(2,3)A半径长等于5的圆的方程，并判断点1(5,7)M,2(5,1)M是否在这个圆上．分析：可以从计算点到圆心的距离入手．点00(,)Mxy与圆222()()xaybr的关系的判断方法：（1）22200()()xaybr，点在圆外（2）22200()()xaybr，点在圆上（3）22200()()xaybr，点在圆内解：圆心是(2,3)A半径长等于5的圆的标准方程是22(2)(3)25xy．把点1(5,7)M的坐标代入方程22(2)(3)25xy，左右两边相等，点1M的坐标适合圆的方程，所以点1M在这个圆上；把点2(5,1)M的坐标代入方程用心爱心专心22(2)(3)25xy，左右两边不相等，点2M的坐标不适合圆的方程，所以点2M不在这个圆上．例2：ABC的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8)ABC,求它的外接圆的方程．师生共同分析：从圆的标准方程222()()xaybr可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数．（学生自己运算解决）（ABC外接圆的圆心是ABC的外心，即ABC三边垂直平分线的交点．）解：设所求圆的方程是222()()xaybr．①因为(5,1),(7,3),(2,8)ABC都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①．于是解此方程组，得22325abr所以ABC的外接圆的方程是22(2)(3)25xy．例3：已知圆心为C的圆经过点(1,1)A和(2,2)B,且圆心在:10lxy上,求圆心为C的圆的标准方程．师生共同分析:如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小．圆心为C的圆经过点(1,1)A和(2,2)B,由于圆心C与A，B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂用心爱心专心直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于CA或CB．解法1：因为(1,1)A，(2,2)B，所以线段AB的中点D的坐标为31,22，直线AB的斜率21321ABk．因此线段AB的垂直平分线m的方程是113232yx，即330xy．圆心C的坐标是方程组33010xyxy的解．解此方程组，得32xy所以圆心C的坐标是3,2圆心为C的圆的半径长22(13)(12)5rAC．所以圆心为C的圆的标准方程是22(3)(2)25xy．解法2：设所求圆的方程为222()()xaybr．由题意得用心爱心专心解得23225abr所以所求圆的方程是22(3)(2)25xy．总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例2、例3可得出ABC外接圆的标准方程的两种求法：①根据题设条件，列出关于a、b、r...
