实数与向量的积（第一课时）【课前复习】1．会做了，学习新课才能有保障（1）已知向量a，作出a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）．（2）实数的乘法交换律是_____，实数的乘法结合律是_____，乘法对加法的分配律_____．2．先看书，再来做一做（1）λa＝0的充要条件是_____．（2）计算：（－7）×6a＝_____，4（a＋b）－3（a－b）－8a＝_____．【学习目标】（1）掌握实数与向量的积的定义．（2）掌握实数与向量的积的运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关计算．（3）理解两个向量共线的充要条件，会根据条件判断两个向量是否共线．【基础知识精讲】本课时课本给出了实数与向量积的定义，实数与向量积的运算律和向量共线的充要条件．重点是实数与向量积的定义、运算律和向量共线的充要条件．而向量共线的充要条件也是难点．1．实数与向量积的定义我们知道，几个相等实数相加，便得到几倍实数的概念．这同样可推广到几个相等的向量相加上去，例如：a＋a＋a＝3a，（－a）＋（－a）＋（－a）＝－3a．n个相等非零向量a相加的和仍是一个向量，记作na＝a＋a＋…＋a．显然1a＝a，na的长度是|a|的n倍，方向与a相同．一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（1）|λa|＝|λ||a|；（2）当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0．由定义可知，对于λa：①λ是数量，a是向量，λa仍是向量；②当|λ|＞1时，有|λa|＞|a|，这反映了将向量a所代表的线段拉长了，当|λ|＜1时，有|λa|＜|a|，这反映了将向量a所代表的线段缩短了；③λa＝0的充要条件是a＝0或λ＝0．2．实数与向量积的运算律实数与向量积的运算律与数与数的积的运算律很相似，区别在分配律．设λ、u为实数，那么（1）λ（ua）＝（λu）a；（2）（λ＋u）a＝λa＋ua；（3）λ（a＋b）＝λa＋λb．通常将（1）称为结合律，将（2）称为第一分配律，将（3）称为第二分配律．根据实数与向量乘积的以上三个运算律，以后向量相加和数乘向量可以像实数及多项式那样去运算．如：5a＋3a－4a＝（5＋3－4）a＝4a；（－3）×4a＋（2a＋3b）－2（a－2b）＝－12a＋2a＋3b－2a＋4b＝－12a＋7b．3．向量共线的充要条件向量b与非零向量a共线的充要条件是，有且只有一个实数λ，使得b＝λa．对充要条件的理解：用心爱心专心115号编辑（1）方向相同或相反的两向量共线，零向量与任何向量共线．若有一实数λ，使b＝λa，则b与a同向（λ＞0），或反向（λ＜0，若b＝0（λ＝0）．总之此时b与a共线，这就是充分性．首先介绍存在性．设b与a共线（a≠0），再设＝λ．若b＝0，则λ＝0，因此有b＝0，b＝λa．若b≠0，且b与a同向，则有b＝λa．若b≠0，且b与a反向时，则有b＝－λa．这说明b与a（a≠0）共线时，存在λ使b＝λa．其次介绍唯一性．若b＝λa＝ua，则（λ－u）a＝0，而a≠0，所以u＝λ，即λ是唯一的．（2）当a＝0时，a与任一向量b都共线．若b≠0，则λ不存在；b＝0时，λ可为任意实数．因此，条件中需限制a≠0．即b∥a（a≠0）b＝λa（λ唯一）b∥ab＝λa（λ为实数）．（3）向量平行的充要条件的作用．利用此充要条件可证明三点共线，或两直线平行．但需注意：直线平行不包括重合，用向量平行证明直线平行要根据图形所表示向量的有向线段所在直线是否重合．两向量若有公共点，则它们所在直线重合．例如，与共线，则A、B、C三点共线．本课时学生感到困难的问题是：怎样证明实数与向量积的运算律？下面以证明运算律（3）为例．要证λ（a＋b）＝λa＋ua，我们首先考虑到当λ＝0或λ＝1或a、b中至少有一个为零向量的情形，结论都是成立的．下面我们只需对λ≠0，λ≠1，a≠0，b≠0的一般情况进行讨论．当λ＞0时，如图5－3－1示，作＝a，＝λa，＝b，＝λb，则BC∥B0C0，∠ABC＝∠AB0C0，且＝λ，故△ABC∽△AB0C0，∴＝λ，∠CAB＝∠C0AB0．因此，A，C，C0三点共线，即有λ（a＋b）＝λa＋λb．当λ＜0时，证法同λ＞0.综上,λ（a＋b）＝λa＋λb．图5－3－1【学习方法指导】怎样进行实数与向量的积的运算？［例1］完成下列各题：（1）［（2a＋8b）－（4a－2b）］...
