第六课时 两角和与差的余弦、正弦、正切（三）VIP免费

第六课时两角和与差的余弦、正弦、正切(三)教学目标：进一步熟练掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式的灵活应用；提高学生的推理能力，培养学生用联系变化的观点看问题，提高学生的数学素质，使学生树立科学的世界观.教学重点：利用两角和与差的余弦、正弦、正切公式解决一些综合性问题.教学难点：怎样使学生对所学知识融会贯通，运用自如.教学过程：Ⅰ.复习回顾cos(α±β)＝cosαcosβsinαsinβsin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβtan（α±β）＝Ⅱ.讲授新课［例1］已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0且a≠c)的两个根为tanα、tanβ，求tan(α＋β)的值.分析：由题意可得tanα、tanβ为一元二次方程的两根，由韦达定理可知tanα＋tanβ＝－，且tanα·tanβ＝，联想两角和的正切公式，不难求得tan(α＋β)的值.解：由a≠0和一元二次方程根与系数的关系，可知：且a≠c所以tan(α＋β)＝＝＝－＝.评述：在解题时要先仔细分析题意，联想相应知识，选定思路，再着手解题.［例2］设sinθ＋cosθ＝，＜θ＜π，求sin3θ＋cos3θ与tanθ－cotθ的值.解： sinθ＋cosθ＝sin∴2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝sin∴θcosθ＝－又sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝(sinθ＋cosθ)(1－sinθcosθ)＝(1＋)＝又 ＜θ＜πsin∴θ＞0，cosθ＜0sin∴θ－cosθ＝tan∴θ－cotθ＝－＝＝＝＝－评述：(1)在sinθ＋cosθ、sinθcosθ与sinθ－cosθ中，知其中之一便可求出另外两个.(2)解决有关sinθ＋cosθ、sinθcosθ与sinθ－cosθ的问题是三角函数中的一类重要问题.［例3］tan2Atan(30°－A)＋tan2Atan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝_____.解：原式＝tan2A［tan(30°－A)＋tan(60°－A)］＋［tan(30°－A)tan(60°－A)］＝tan2Atan［(30°－A)＋(60°－A)］［1－tan(30°－A)tan(60°－A)］＋［tan(30°－A)tan(60°－A)］＝tan2Atan(90°－2A)［1－tan(30°－A)tan(60°－A)］＋［tan(30°－A)tan(60°－A)］＝tan2A·cot2A［1－tan(30°－A)tan(60°－A)］＋［tan(30°－A)tan(60°－A)］用心爱心专心＝1评述：先仔细观察式子中所出现的角，灵活应用公式进行变形，然后化简、求值.［例4］已知tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的两个根，求sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值.解：由题意知tan(∴α＋β)＝＝＝sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)＝cos2(α＋β)［tan2(α＋β)－3tan(α＋β)－3］＝［tan2(α＋β)－3tan(α＋β)－3］＝［()2－3×－3］＝－3［例5］已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值.解：由α为锐角，cosα＝，∴sinα＝.由α、β为锐角，又tan(α－β)＝－cos(∴α－β)＝，sin(α－β)＝－cos∴β＝cos［α－(α－β)］＝cosα·cos(α－β)＋sinα·sin(α－β)＝×＋×(－)＝Ⅲ.课堂练习1.若方程x2＋mx＋m＋1＝0的两根为tanα、tanβ.求证sin(α＋β)＝cos(α＋β).解：由题意可知由：tan(α＋β)＝得：tan(α＋β)＝＝1即：sin(α＋β)＝cos(α＋β)∴命题得证.评述：要注意已知条件与所求结论中涉及三角函数的关系，选择适当的关系式进行转化.2.若△ABC的三内角成等差数列，且A＜B＜C，tanAtanC＝2＋，求角A、B、C的大小.分析：由A、B、C为△ABC的三内角，可知A＋B＋C＝180°，又已知A、B、C为等差数列，即2B＝A＋C，所以B＝60°且A＋C＝120°与已知条件中的tanAtanC＝2＋可联系求出tanA、tanC，从而确定A、C.解：由题意知：解之得：B＝60°且A＋C＝120°∴tan(A＋C)＝tan120°＝－＝又 tanAtanC＝2＋∴tanA＋tanC＝tan(A＋C)(1－tanAtanC)＝tan120°(1－2－)＝－(－1－)＝3＋ tanA、tanC可作为一元二次方程x2－(3＋)x＋(2＋)＝0的两根又 0＜A＜B＜C＜π∴tanA＝1，tanC＝2＋即：A＝45°，C＝75°答：A、B、C的大小分别为45°、60°、75°.评述：要注意挖掘隐含条件，联想相关知识，构造方程等等.3.如果sinα＋sinβ＝a，cosα＋cosβ＝b，ab≠0，则cos(α－β)等于()用心爱心专心A.B.C.D.－1分析：由已知条件中的两关系式结合同角三角函数的平方关系式si...