第三课时 等差数列（一）VIP免费

第三课时等差数列(一)教学目标：明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式，会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题；培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能力，培养学生的应用意识.教学重点：1.等差数列的概念的理解与掌握.2.等差数列的通项公式的推导及应用.教学难点：等差数列“等差”特点的理解、把握和应用.教学过程：Ⅰ.复习回顾上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面我们看这样一些例子Ⅱ.讲授新课1，2，3，4，5，6；①10，8，6，4，2，…；②21，21，22，22，23，23，24，24，25③2，2，2，2，2，…④首先，请同学们仔细观察这些数列有什么共同的特点?是否可以写出这些数列的通项公式？（引导学生积极思考，努力寻求各数列通项公式，并找出其共同特点）数列①是一递增数列，后一项总比前一项多1，其通项公式为：an＝n(1≤n≤6).数列②是由一些偶数组成的数列，是一递减数列，后一项总比前一项少2，其通项公式为：an＝12－2n(n≥1).数列③是一递增数列，后一项总比前一项多，其通项公式为：an＝20＋n（1≤n≤9)数列④的通项公式为：an＝2(n≥1)是一常数数列.综合上述所说，它们的共同特点是什么呢？它们的共同特点是：从第2项起，每一项与它的前一项的“差”都等于同一个常数.也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列.1.定义等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.如：上述4个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，－2，，0.2.等差数列的通项公式等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则据其定义可得：(n－1)个等式若将这n－1个等式左右两边分别相加，则可得：an－a1＝(n－1)d即：an＝a1＋(n－1)d当n＝1时，等式两边均为a1，即上述等式均成立，则对于一切n∈N*时上述公式都成立，所以它可作为数列{an}的通项公式.或者由定义可得：a2－a1＝d即：a2＝a1＋d；a3－a2＝d即：a3＝a2＋d＝a1＋2d；a4－a3＝d即：a4＝a3＋d＝a1＋3d；……；an－an－1＝d，即：an＝an－1＋d＝a1＋(n－1)d看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d,便可求得其通项.如数列①：an＝1＋(n－1)×1＝n(1≤n≤6),用心爱心专心115号编辑数列②：an＝10＋(n－1)×(－2)＝12－2n(n≥1),数列③：an＝22＋(n－1)＝21－n(n≥1),数列④：an＝2＋(n－1)×0＝2(n≥1)由通项公式可类推得：am＝a1＋(m－1)d，即：a1＝am－(m－1)d，则：an＝a1＋(n－1)d＝am－(m－1)d＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.如：a5＝a4＋d＝a3＋2d＝a2＋3d＝a1＋4d3.例题讲解［例1］(1)求等差数列8，5，2…的第20项.分析：由给出的三项先找到首项a1,求出公差d，写出通项公式，然后求出所要项.解：由题意可知：a1＝8，d＝5－8＝2－5＝－3∴该数列通项公式为：an＝8＋(n－1)×(－3)，即：an＝11－3n(n≥1)，当n＝20时，则a20＝11－3×20＝－49.答案：这个数列的第20项为－49.(2)－401是不是等差数列－5，－9，－13…的项?如果是，是第几项?分析：要想判断－401是否为这数列的一项，关键要求出通项公式，看是否存在正整数n，可使得an＝－401.解：由题意可知：a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4,∴数列通项公式为：an＝－5－4(n－1)＝－4n－1.令－401＝－4n－1，解之得n＝100.∴－401是这个数列的第100项.［例2］在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d.解：由题意可知，这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a1＝－2，d＝3.即这个等差数列的首项是－2，公差是3.［例3］在等差数列{an}中，已知a5＝10，a15＝25，求a25.思路一：根据等差数列的已知两项，可求出a1和d，然后可得出该数列的通项公式，便可求出a25.解法一：设数列{an}的首项为a1,公差为d,则根据题意可得：这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a1＝4，d＝.∴这个数列的通项公式为：an＝4＋...