第7课时——两条直线的平行与垂直(2)——教师版VIP免费

两条直线的平行与垂直(２)【学习导航】学习要求1．掌握两条直线垂直的判定方法，并会根据直线方程判断两条直线是否垂直；2．理解两条直线垂直条件的推导过程，注意解几思想的渗透和表述的规范性，培养学生的探索和概括能力．【课堂互动】自学评价（1）当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相垂直，那么它们的斜率的乘积等于，反之，如果它们的斜率的乘积等于，那么它们互相垂直.（2）若两条直线中的一条斜率不存在，则另一条斜率为时，.【精典范例】例1：（1）已知四点，求证：．（2）已知直线的斜率为，直线经过点，且，求实数的值．【证明】（1）由斜率公式得：，则，∴．（2）∵，∴，即，解得或，∴当或时，．点评:本题是两直线垂直判定的简单应用.例2：已知三角形的三个顶点为，求边上的高所在的直线方程．分析：由和垂直,求出的斜率,利用直线的点斜式便可求出高所在的直线方程．【解】直线的斜率为，∵，∴，根据点斜式，得到所求直线的方程为，即.点评：一般地，与直线垂直的直线的方程可设为，其中待定．例3：在路边安装路灯，路宽23，灯杆长，且与灯柱成角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？（精确到）【解】记灯柱顶端为，灯罩顶为，灯管为，灯罩轴线与道路中线交于点．以灯柱底端为原点，灯柱为轴，建立如图所示的直角坐标系．点的坐标为，点的坐标为，∵，∴直线的倾斜角为，则点的坐标为（），即（），∴，由直线的点斜式方程，得的方程为，灯罩轴线过点，∴，2ABCD242解得答：灯柱高约为．点评:读懂题意,画出示意图,建立直角坐标系,构造数学模型是关键.追踪训练一1.以为顶点的三角形是（）（）锐角三角形（）直角三角形（）钝角三角形２.（2000京皖春，6）直线（）x+y=3和直线x+（）y=2的位置关系是（）（）相交不垂直（）垂直（）平行（）重合３.过原点作直线的垂线，若垂足为，则直线的方程是．４.已知两直线，，求证：．【选修延伸】例4：（课本第91页习题第12题）直线和的方程分别是和，其中不全为0，也不全为0，试探究：（1）当时，直线方程中的系数应满足什么关系？（2）当时，直线方程中的系数应满足什么关系？分析：由于和的斜率可能不存在，因此分类讨论．【解】（1）①当两直线方程中的系数有一个为0时，不妨设，则必有，此时直线垂直于轴，其方程为，由知也垂直于轴，其方程可以为，此时满足；反之也成立．②当两直线方程中的系数均不为0时，直线和的斜率分别为，，由得，即．反之也成立．综合①②可知：当时，．（2）①当两直线方程中的系数有一个为0时，不妨设，则必有，此时直线垂直于轴，其方程为，由知，直线平行于轴，故其方程为，满足，；反之也成立．②当两直线方程中的系数均不为0时，直线和的斜率分别为，，由知，，∴．反之也成立．综合①②可知：当时，．点评：斜率是否存在的讨论是本题的难点所在．另外，分类讨论的数学思想也得到了充分的体现．思维点拔：1．求直线方程时，与或平行的直线可分别设为或（其中为待定系数）；与或垂直的直线可分别设为或（其中为待定系数）．2．在解有关两直线平行或垂直问题时,应注意它们的斜率是否存在,否则需分类讨论.追踪训练二1．若直线与互相垂直，则实数的值为．2．由四条直线：，，，围成的四边形是()等腰梯形梯形长方形正方形3．过点的所有直线中，距离原点最远的直线方程是．4．分别经过点A(1,2)、B(2,4)的两条直线互相平行，当它们之间的距离达到最大时，求这两条直线的方程．答案:经过的直线分别是及．学生质疑教师释疑