听课随笔第6课时余弦定理（3）【学习导航】知识网络学习要求1．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；2．能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3．进一步运用余弦定理解斜三角形．【课堂互动】自学评价1．余弦定理：(1)，，.(2)变形：，，2．判断该三角形的形状一般都有角化边或边化角两种思路.【精典范例】【例1】在ABC中，求证：（1）（2）分析：【解】（1）根据正弦定理，可设===k显然k0，所以左边===右边（2）根据余弦定理的推论，右边=2(bc+ca+ab)=(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c=左边【例2】在中，已知acosA=bcosB用两种方法判断该三角形的形状.分析：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”。【解】方法1o（余弦定理）得a=bc=是等腰三角形或直角三角形.方法2o（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,2A=2B,或2A+2B=180A=B或A+B=90是等腰三角形或直角三角形.点评:判断该三角形的形状一般都有“走边”或“走角”两条路。【例3】在四边形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC=，求：（1）AB的长（2）四边形ABCD的面积【解】（1）因为BCD=75，ACB=45，所以ACD=30，又因为BDC=45，所以DAC=180-（75+45+30）=30，所以，AD=DC=听课随笔听课随笔在BCD中，CBD=180-（75+45）=60，所以=，BD==在ABD中，AB=AD+BD-2ADBDcos75=5,所以，AB=（3）S=ADBDsin75=同理，S=所以四边形ABCD的面积S=追踪训练一1.在△ABC中，，，则下列各式中正确的是（D）A.B.C.D.2.在△ABC中，若,则△ABC的形状是____直角三角形_____3.如图，已知圆内接四边形ＡＢＣＤ的边长分别为ＡＢ＝２，ＢＣ＝６，ＡＤ＝ＣＤ＝４，如何求出四边形ＡＢＣＤ的面积？答案：S=8【选修延伸】【例4】如图：在四边形ABCD中，∠B=∠D=750，∠C=，AB=3，AD=4，求对角线AC的长。分析：此题涉及两个三角形，AC是公共边。【解】设∠DCA=，AC=，则追踪训练二1．在△ABC中，若c4-2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，则∠C等于(D)A．90°B．120°C．60°D．120°或60°2．在锐角中，若，则边长的取值范围是3．已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S.答案：a=6,S=9;a=12,S=18【师生互动】学生质疑教师释疑
