听课随笔第4课时余弦定理（1）知识网络三角形中的向量关系→余弦定理学习要求1．掌握余弦定理及其证明；2．体会向量的工具性；3．能初步运用余弦定理解斜三角形．【课堂互动】自学评价1．余弦定理：(1)，，.(2)变形：，，2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）已知三边，求三个角；（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．【精典范例】【例1】在中，（1）已知，，，求；（2）已知，，，求（精确到）．【解】（1）由余弦定理，得所以．（2）由余弦定理，得，所以，．点评:利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）已知三边，求三个角（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．【例2】两地之间隔着一个水塘，现选择另一点，测得，求两地之间的距离（精确到）．【解】由余弦定理，得所以，答两地之间的距离约为．【例3】用余弦定理证明：在中，当为锐角时，；当为钝角时，．【证】当为锐角时，，由余弦定理，得，即．同理可证，当为钝角时，点评:余弦定理可以看做是勾股定理的推广．追踪训练一１．在△ＡＢＣ中，（１）已知Ａ＝６０°，ｂ＝４，ｃ＝７，求a；（２）已知a＝７，ｂ＝５，ｃ＝３，求Ａ．略解：（1）a略解：（2）听课随笔听课随笔２．若三条线段的长为５，６，７，则用这三条线段（Ｂ）Ａ．能组成直角三角形Ｂ．能组成锐角三角形Ｃ．能组成钝角三角形Ｄ．不能组成三角形３．在△ＡＢＣ中，已知，试求∠Ｃ的大小．略解：４．两游艇自某地同时出发，一艇以１０ｋｍ／ｈ的速度向正北行驶，另一艇以７ｋｍ／ｈ的速度向北偏东４５°的方向行驶，问：经过４０ｍｉｎ，两艇相距多远？略解：两艇相距4.71km【选修延伸】【例4】在△ABC中，=，=，且，是方程的两根，。（1）求角C的度数；（2）求的长；（3）求△ABC的面积。解：(1)（2）因为，是方程的两根，所以（3）【例5】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，，，证明：。证明：由余弦定理知：，则，整理得:，又由正弦定理得:，，追踪训练二1．在△ABC中，已知，，B=，则（B）A2BCD2．在△ABC中，已知AB=5，AC=6，BC=，则A=（A）ABCD3．在△ABC中，若，，C=，则此三角形有一解。提示：由余弦定理得：负值不合题意，舍去。4、△ABC中，若，则A=。【师生互动】学生质疑教师释疑
