10.4.2二项式定理(二)●教学目标(一)教学知识点1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和.2.“赋值法”.(二)能力训练要求1.掌握二项式系数的性质，并会简单应用.2.学会用“赋值法”解决与二项式系数有关的问题.(三)德育渗透目标1.提高学生的数学素质.2.树立由一般到特殊的意识.●教学重点1.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.(2)增减性： =,∴当k＜时，二项式系数逐渐增大，由对称性知后半部分是逐渐减小的.(3)最大值：当n为偶数时，中间一项(第+1项)的二项式系数最大，最大值为.当n为奇数时，中间两项(第项和第+1项)的二项式系数相等，且同时取最大值，最大值为或.(4)各二项式系数和+++…++…+=2n.2.“赋值法”在解题中的运用.●教学难点与二项展开式中系数最大项有关问题的求解.●教学方法发现法●教具准备投影片一张.内容：课本P107图10-9.●教学过程Ⅰ.复习回顾［师生共同活动］(a+b)n=an+an-1b1+…+an-rbr+…bn.Tr+1=an-rbr.Ⅱ.讲授新课［师］通项公式中的，我们称其为二项式系数，(a+b)n展开式的二项式系数，当n依次网站：http://www.zbjy.cn论坛：http://bbs.zbjy.cn版权所有@中报教育网1取1，2，3，…时，如下表所示：(a+b)111(a+b)2121(a+b)31331(a+b)414641(a+b)515101051(a+b)61615201561…………不难发现，它有这样的规律：每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.［师］能用我们所学知识解释一下吗？［生］设这一数为,其肩上的数则为和，由组合数知识可知=+.［师］上表可称为二项式系数表，早在我国南宋数学家1261年所著的《详解九章算术》中就有所记载，又称为杨辉三角.此表将二项式系数的性质表现得淋漓尽致.(打出投影片)［师］下面结合此表，来看一下二项式系数的主要性质.同学们看出哪些性质？［生］对称性.即与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.［师］为什么呢？［生］因为=.［师］还有什么性质？［生］增减性与最大值.当k＜时，二项式系数是逐渐增大的；当k＞时，二项式系数是逐渐减小的.当n是偶数时，最大；当n是奇数时,,相等，且最大.［师］上述性质与我们所学二次函数性质有相似之处，因此可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是{0,1,2,…,n}.［师］可以解释上述性质吗？［生］ ==·，∴当＞1，即k＜时,＞1,即＞.网站：http://www.zbjy.cn论坛：http://bbs.zbjy.cn版权所有@中报教育网2当＜1,即k＞时，＜1,即＜.［师］还有其他性质吗？［生］ (1+x)n=+x+x2+…+xr+…+xn,当x=1时，2n=+++…++…+，即(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n.［师］是否还可发现其他性质呢？［生］在(a+b)n的展开式中，令a=1,b=-1,则可得0=-+-+…=(++…)-(++…)，即++…=++….也就是说，在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的和.［师］下面看怎样应用这些性质.［例1］求(1+2x-3x2)5的展开式中的x5项的系数.［师］这是一个关于三项式的展开式的问题，而三项式的展开式对于我们来讲，并无现成的公式可用，那么请大家思考一下如何解决？能否与我们刚学的二项式定理产生联系呢？［生甲］我认为可以将(2x-3x2)看作一项，用二项式定理展开，再考查各项中x5项的系数，最后通过求和得到所求.［生乙］我也尝试了甲同学的方法，但感觉各项中x5项的系数有些烦琐.［师］虽然此种解法较繁，但对于大家来说，能够熟悉二项式定理，熟悉二项式的展开式，熟悉二项式的通项的特点，所以，我还是提倡大家采用这种思路尝试下去，加深自己的体会.［生丙］我注意到括号内的(1+2x-3x2)恰好可以分解因式为(1-x)(1+3x),故三项式可转化为两个二项式之积，分别展开后考查得到x5项的多种情形：x0·x5,x1·x4,x2·x3,x3·x2,x4·x1,x5·x0，然后将两个二项展开式的系数对应相乘相加即可.［师］很好，相对于解法一来讲，丙同学的解法就体现了解题方法的灵活性，即通过因式分解将三项式问题转化为二项式问题，其他同学注意体会.解法一： (1+2x-3x2)5=［1+(2x-3x2)］5=1+5(2x-3x2)+10(2x-3x2)2+10(2x-3x2)3+5(2x-3x2)4+(2x-3x2)5=1+5x(2-3x)+10x2(2-3x)2+10x3(2-3x)3+5x4(2-3x)4+x5(2-3x)5,∴...
