高中数学选修本(理科)杨辉三角2VIP专享VIP免费

杨辉三角2目的要求1．探索杨辉三角斜行的数字规律，并应用规律求一类数列的前n项和；2．探索杨辉三角与其他数学对象之间的联系，培养学生应用数学知识方法的能力。内容分析本节课的主要内容是继续研究杨辉三角的数字规律及其与其他数学问题之间的联系。1．从研究平行于杨辉三角形“两腰”的斜边上的数字规律的过程中，我们可以发现朱世杰恒等式：nkmkmmnmCC011。这个规律其实是杨辉三角第三条基本性质111rnrnrnCCC的推广形式。应用朱世杰恒等式，可以求出*)(21Nknkkk的和式值。2．研究经过两数0121nnnCC与，或02211nnnCC与的斜边上的数字规律，可以得到著名的斐波那契数列*)(,1:1221Nnaaaaaannnn。由斐波那契数列的通项公式nnna25125155，可得组合数的性质：1212102202221125125155nnnkkknnnnnnCCCC，*)(25125155221012012211NnCCCCnnnkkknnnnnn。3．将12n阶杨辉三角形中去掉所有的偶数，剩下的图形类似于分形几何中的谢尔宾斯基三角形（如图），这种三角形是研究自然界大量存在的不规则现象（海岸线性状、大气运动、海洋湍流、野生生物群体涨落，乃至股市升降等）的崭新教学工具。用心爱心专心115号编辑4．教科书中的正六棱柱形木板滚球实验说明杨辉三角与概率统计之间存在联系。讲授时，老师应制作一个教具，并用16个小球。做实验若干次，然后引导学生挖掘实验结果与杨辉三角之间的关系，并用排列组合知识与概率知识加以解释。教学过程1．用电脑展示8阶杨辉三角图，以备用上节课主要是研究杨辉三角横行的数字规律，这节课首先来研究斜行的数字规律（如图）。2．学生分小组研究，得出的结果可能是：（1）n阶杨辉三角形的第k+1条斜边上的数（从左到右，从上到下）组成的数列是：),,1,0(,,,11nkCCCCknknkkkk。（2）上述数列的和为：1111knknknkkkkCCCCC。3．引导学生证明上述等式，并介绍有关朱世杰研究上述组合数恒等式的情况（1）证明过程：knknkkkkCCCC11111111111213111211)()()()(knknknknknkkkkkkkkkkCCCCCCCCCC（2）朱世杰问题（如象招数问题）：以立方招兵，初招方面三尺，次招方面转多一尺，…，今招十五日，…，问招兵…几何？用数列语言来说就是：第k日招兵3)2(k，共招n日，一共招兵多少？问题可转化为求和：33321n 13136)1()1(kkCCkkkkk用心爱心专心115号编辑∴)()(62111211313433333nnCCCCCCn22142)1(216nnCCnn。4．引导学生观察8阶杨辉三角表。研究图中标出的斜行各数之间的关系（1）将各斜边的数字相加后按从上而下的顺序列出：1，1，2，3，5，8，13，21，34。（2）研究上述数列的规律后，可以猜测：无穷阶杨辉三角类似的数列为：*)(2,1:121Nnaaaaaannnn（3）引导学生将na表示成组合数的和，并证明nnnaaa12。0122112kkkkkkCCCa，*)(02221112NnCCCakkkkkk根据杨辉三角的基本性质3可以推出1221222122,kkkkkkaaaaaa。（4）指出上述数列是斐波那契数列，该数列有广泛应用。5．观察下图15阶杨辉三角中，各小正三角形内的数有什么特点？并推广到12n阶杨辉三角中用心爱心专心115号编辑（1）（自上而下）第k个正三角形内的数都是偶数，即12221212212122221211,,,,,,,kkkkkkkkkCCCCCC都是偶数（k∈N*）。（2）第k个正三角形两腰外的第一条斜边上的数都是奇数，即12222112021,,,,,kkkkkCCCCmm都是奇数（k∈N*）。这条性质和上节课推出的性质“第22,,121kk行上的所有数中既有偶数也有非1的奇数”相吻合。（3）12n阶杨辉三角中...