定积分的概念与计算目的要求1．理解定积分的线性性质和对区间的可加性．2．了解微积分基本公式，知道这一公式显示了定积分与不定积分之间的关系．内容分析1．定积分概念的确立，给出了定积分的一种可操作的方法．但是这种方法既繁杂，技巧性又很强，甚至可能进行不下去．简化定积分的计算必然成为本节课的重点内容．它包括两个方面，一是定积分的线性性质和对区间的可加性，另一是微积分基本公式．2．微积分基本公式是17世纪英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨在研究微分与积分的互逆关系的基础上各自独立提出来的．它使定积分的计算变得十分简捷，为积分学的广泛应用提供了较多方便的条件，也沟通了定积分与不定积分之间的关系．3．证明微积分基本公式要用到微分中值定理或积分中值定理，超出了中学阶段的要求．教科书只是利用变速直线运动的路程函数与速度函数之间的关系加以说明．正确应用这一公式计算定积分却是本节课的重点与难点．4．定积分的简单性质是为利用微积分基本公式计算定积分扫清障碍，从而也简化了定积分的计算工作．尤其是定积分对区间的可加性在计算分段连续函数的定积分方面发挥着独特的优势，教学时宜补充适当的例子．定积分的简单性质可以利用定积分的定义及极限的运算法则加以说明，或利用定积分的几何意义加以解释．但为了沟通内容间的联系教学时建议利用微积分基本公式证明定积分的简单性质．教学过程1．复习引入设某物体沿直线运动，其中速度函数v(t)是连续函数，且v(t)≥0，路程函数s(t)是可导函数．(1)两个函数v(t)与s(t)之间存在什么关系？(s′(t)＝v(t)．)(2)用两种方法计算物体从时刻t＝a到时刻t＝b这段时间所经过的2．新课(1)推广上例中的计算方法，便得到微积分基本公式．简述其又名牛顿——莱布尼茨公式的原因．(2)阐述公式的意义：公式只对[a，b]上的连续函数适用，要计算定函数F(x)，再计算F(x)在区不定积分和定积分紧密联系起来：它们的关系是函数与函数值的关系．它(3)例1计算下列定积分．对这道例题，教师应按解题格式板出过程示范．②将上节课讲的半球体积用积分表示，并用公式计算出来．③能否这样计算：(4)微积分基本公式实质上是不定积分与定积分的联系．根据这种联系及不定积分的线性性质猜测定积分有何运算性质．观察图形(教科书第166页图4－10)可知S曲边梯形AMNB＝S曲边梯形AMPC＋S曲边梯形CPNB．将这一等式用定积分的形式表达出来．(5)教师引导学生用微积分基本公式证明第一个性质，其他性质的证明留给学生课后完成．证明：设F(x)是f(x)的一个原函数，即F′(x)＝f(x)，又[kF(x)]′＝kF′(x)＝kf(x)，即kF(x)是kf(x)的原函数．用心爱心专心115号编辑方法：①按定积分定义计算，比如将[0，2]分2n等份．②按微积分基本公式求，关键是求F(x)，使F′(x)＝|x2－1|．③将|x2－1|写成分段函数，利用定积分对积分区间的可加性求．略解：布置作业1．用微积分基本公式证明定积分对积分区间的可加性：求f′(x)的解析式并证明f(x)是单调函数．用心爱心专心115号编辑
