组合数的两个性质一、教学目的：2使学生掌握组合数的两个性质及其证明方法，培养学生的逻辑思维能力；3使学生能利用组合数的性质进行计算，培养学生的计算能力。教学过程：1、复2、习提问：1组合数公式的两种形式是什么：2利用组合数的公式的第二种形式计算，根据学生的回答，教师板书如下：（1）组合数公式：}(n,m∈N,且m≤N)二、新课讲授：4通过具体的实例，丰富学生对性质1的感性认识，并加以证明，再讲它的应用。（1）利用组合数的公式，（2）考察：与，与，与的关系，并能发现什么规律？（可以逐个叫学生回答，板书）∵，又，∴=；∵又∴；∵又∴=。由不完全归纳可得：从n个不同的元素中取出m个元素的组合数，等于从n个不同的元素中取出n-m个元素的组合数。即定理1：=，(n,m∈N,且m≤N)(2)定理1的证明。要证明这个等式成立，即证明两个量相等。那么，证明两个量相等有用心爱心专心116号编辑声么方法呢？（指明学生回答）方法一：“若两个数都等于第三个数，则这两个数相等”。我们知道，，显然，等于。于是可得下面的证明。证明：∵，又，∴=。（3）性质1的另一种解释：从n个不同的元素中取出m个元素，并成一组，那么，剩下的n-m个元素也成一组；反之，从n个不同的元素中取出n-m个元素并组成一组，那么剩下的m个元素也成一组。所以，它们的组合是一一对应的，故有从n个不同的元素中取出m个的组合数是等于从n个不同的元素中取出n-m个元素的组合数，即=。（4）当时，利用这个公式，可是的计算简化。如：，。（5）注意：当m=n时，公式=变形为，又=1，所以规定：=1即0！=1（6）在这样的一组组合数：，，……，，中，性质1还说明了：与两端等距离的两个组合数相等。如：=，=，=，……。6用计算的方法验证下列各式成立，并加以证明。（3）（1）用计算的方法考察组合数：与，与的关系，你能由此发现什么规律吗？（可指明学生回答，板书）用心爱心专心116号编辑∵∴=∵∴=规律：若n、,m是自然数，m≤n，则，（或）定理2(n,m∈N,且m≤N)（4）定理2的证明。要证明这个等式，（5）只要根据组合数的公式变形即可。证明：∵∴（3）对于定理2，还可以这样解释：从，，….，这n+1个不同的元素中取出m个元素的组合数，这些组合可以分成两类：一类含，一类不含。含的组合是从，….，这n个不同的元素中取出m-1个元素的组合数为，不含的组合是从，….，这n个不同的元素中取出m个元素的组合数为。再由加法原理，得：。（3）定理2还说明了，把从n+1个不同的元素中取出m个元素的组合数，等于从n个不同的元素中取出m个元素的组合数与从n个不同的元素中取出m-1个元素的组合数的和。这体现了组合数的可分解性，或组合数的可加性。3、课堂练习：用心爱心专心116号编辑1计算与；2求；3利用定理2证明：ccccccmnmmmmmnmnmn11321...证明：……又证：将原式左边的各项写成：，，，……，，将上述的等式两边相加，得：ccccccmnmmmmmnmnmn11321...四、作业:认真阅读课文,重点掌握组合数的两个性质的证明和利用性质计算组合数的方法,并做下列练习:1.求2.证明:3.书上用心爱心专心116号编辑
