12.2离散型随机变量的期望值和方差巩固·夯实基础一、自主梳理1.期望：若离散型随机变量ξ,ξ=xi的概率为P(ξ=xi)=pi(i=1,2,…,n,…),则称Eξ=∑xipi为ξ的数学期望,反映了ξ的平均值.2.方差：称Dξ=∑(xi-Eξ)2pi为随机变量ξ的均方差，简称方差.叫标准差，反映了ξ的离散程度.3.性质：(1)E(aξ+b)=aEξ+b,D(aξ+b)=a2Dξ(a、b为常数).(2)若ξ—B(n,p),则Eξ=np,Dξ=npq(q=1-p).二、点击双基1.袋子里装有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个球,用ξ表示取出的球的最大号码,则Eξ等于()A.4B.5C.4.5D.4.75解析：ξ可以取3,4,5,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,P(ξ=5)===.∴Eξ=3×+4×+5×==4.5.答案：C2.设导弹发射的事故率为0.01,若发射10次,其出事故的次数为ξ,则下列结论正确的是()A.Eξ=0.1B.Dξ=0.1C.P(ξ=k)=0.01k·0.9910-kD.P(ξ=k)=Ck10·0.99k·0.0110-k解析:ξ—B(n,p),Eξ=10×0.01=0.1.答案:A3.已知ξ—B(n,p),且Eξ=7,Dξ=6,则p等于（）A.B.C.D.解析:Eξ=np=7,Dξ=np(1-p)=6,所以p=.答案:A4.一个盒子里装有n-1个白球,1个红球,每次随机地取出一个球,若取到白球则放回再取,若取到红球则停止取球,则取球次数ξ的数学期望为__________________________.解析：ξ可以取1,2,3,…,n,P(ξ=k)=(k=1,2,…,n),∴Eξ=(1+2+3+…+n)=.答案：5.有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2,已知Eξ1=Eξ2,Dξ1＞Dξ2,则自动包装机_______________的质量较好.解析:Eξ1=Eξ2说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样.Dξ1>Dξ2说明甲机包装重量的差用心爱心专心1别大,不稳定.∴乙机质量好.答案:乙诱思·实例点拨【例1】设ξ是一个离散型随机变量,其分布列如下表,试求Eξ、Dξ.ξ-101P1-2qq2剖析:应先按分布列的性质,求出q的值后,再计算出Eξ、Dξ.解:因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1,所以解得q=1-.于是,ξ的分布列为ξ-101P-1-所以Eξ=(-1)×+0×(-1)+1×(-)=1-,Dξ=［-1-(1-)］2×+(1-)2×(-1)+［1-(1-)］2×(-)=-1.讲评:解答本题时,应防止机械地套用期望和方差的计算公式,出现以下误解:Eξ=(-1)×+0×(1-2q)+1×q2=q2-.链接·提示既要会由分布列求Eξ、Dξ,也要会由Eξ、Dξ求分布列,进行逆向思维.如:若ξ是离散型随机变量,P(ξ=x1)=,P(ξ=x2)=,且x1
