空间几何体的体积（2）教学目标（1）了解球的体积及表面积计算公式的推导过程，能用球的表面积和体积公式解决有关问题；（2）能用柱、锥、台、球等几何体的体积计算公式解决有关组合体的体积计算公式；（3）体会祖暅原理和积分思想．教学重点1．球的体积计算公式及表面积计算公式．2．柱、锥、台、球的体积计算公式的综合应用．教学难点在球的体积、表面积计算公式的推导过程中体会“无穷”“极限”的思想．教学过程一、问题情境1．情境：练习：正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，求此三棱锥的体积．回忆柱体、锥体、台体体积计算公式，以及体积的推导过程．2．问题：在空间几何体里面还有球的表面积和体积没有研究过，能否用研究柱、锥、台的表面积和体积公式的方法来研究球的表面积和体积呢？二、建构数学1运用祖暅原理类似的方法我们还能证实这样一个结论：一个地面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等．由此得到，所以．这个结论可以通过“倒沙实验”得到．2．设想一个球由许多顶点在球心，底面都在球面上的“准锥体”组成，这些“准锥体”的底面并不是真正的多边形，但只要这些“准锥体”的底面足够地小，就可以把它们近似地看成棱锥．这时，这些“准锥体”的高趋向于球半径，底面积……的和趋向于球面积所有这些“准锥体”的体积的和趋向于球的体积，因此…，所以．用心爱心专心三、数学运用1．例题：例1．如图是一个奖杯的三视图（单位：），试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积（精确到0．01）．解：采用斜二测画法．先画底座，这是一个正四棱台；再画杯身，是长方体；最后画出球体．因为，，，所以这个奖杯的体积为：．说明：计算组合体的体积时，考虑将其转化为计算柱、锥、台、球等常见几何体的体积．例2．一个正方体内接于半径为的球内，求正方体的体积．解：因为正方体内接于球内，所以正方体的8个定点均在球面上，又正方体和球体都是中心对称图形，所以它们的对称中心必重合，即球心就是正方体的中心，设正方体的棱长为，则．所以，正方体的体积为．2．练习：一个平面截一个球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离是，求该球的表面积和体积．四、回顾小结：1．球的表面积以及体积公式；2．运用柱、锥、台、球的表面积和体积公式求一些组合体的表面积和体积．用心爱心专心五、作业：1.棱长为的正方体内有一个球与这个正方体的12条棱都相切，求这个球的体积．2．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，这样的三棱柱能否放进一个体积为的小球？为什么？用心爱心专心
