高中数学知识精要 10.导数教案 新人教A版VIP专享VIP免费

导数1、导数的背景：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度.如一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在时的瞬时速度为_____（答：5米/秒）2、导函数的概念：如果函数在开区间（a,b）内可导，对于开区间（a,b）内的每一个，都对应着一个导数，这样在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做在开区间（a,b）内的导函数，记作，导函数也简称为导数。提醒：导数的另一种形式如（1）*在处可导，则解：在处可导，必连续∴∴（2）*已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：（1）；（2）分析：在导数定义中，增量△x的形式是多种多样，但不论△x选择哪种形式，△y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。解：（1）（2）用心爱心专心1说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。可以证明：可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数3、求在处的导数的步骤：（1）求函数的改变量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。也可（1）求，（2）.4、导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即曲线在点处的切线的斜率是，相应地切线的方程是。特别提醒：（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线(只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是)，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条切线，也未必和曲线只有一个交点；（2）求过某一点的切线方程时也是通过切点坐标来求。如（1）P在曲线上移动，在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是______（答：）；（2）直线是曲线的一条切线,则实数的值为_______（答：－3或1）；（4）曲线在点处的切线方程是______________（答：）；（5）已知函数，又导函数的图象与轴交于。①求的值；②求过点的曲线的切线方程（答：①1；②或）。5、导数的运算法则：6.常见函数的导数公式:用心爱心专心2（1）常数函数的导数为0，即（C为常数）；（2），与此有关的如下：；7.（理科）复合函数的导数：一般按以下三个步骤进行：（1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；（3）把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导，中间变量对自变量求导；最后求，并将中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解——求导——回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。如（1）已知函数的导数为，则_____（答：）；（2）函数的导数为__________（答：）；（3）若对任意，，则是______（答：）8、函数的单调性：（1）函数的单调性与导数的关系①若,则为增函数；若,则为减函数；若恒成立,则为常数函数；若的符号不确定,则不是单调函数。可导函数y＝f（x）在某个区间内是函数f(x)在该区间上为增函数的充分条件②若函数在区间（）上单调递增，则，反之等号不成立（等号不恒成立时，反过来就成立）；若函数在区间（）上单调递减，则，反之等号不成立（等号不恒成立时，反过来就成立）。提醒：导数求单调性可用于求函数值域，证明不等式（不等式一端化为0）如（1）函数，其中为实数，当时，的单调性是______（答：增函数）；（2）设函数在上单调函数，则实数的取值范围______（答：）；用心爱心专心3（3）已知函数为常数）在区间上单调递增，且方程的根都在区间内，则的取值范围是____________（答：）；（4）已知，，设，试问是否存在实数，使在上是减函数，并且在上是增函数？（答：）（2）利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求（注意定义域）；（2）求方程的根，设根为；（3）将给定区间分成n+1个子区间（在此有一个比较根的大小问题），再在每一个子区间内判断的符号，由此确定每一子区间的单调性。如设函数在...